1 . 如图1所示，一根劲度系数为k的轻质弹簧，上端固定在天花板上，下端挂一小球（可视为质点），弹簧处于原长时小球位于O点。将小球从O点由静止释放，小球沿竖直方向在OP之间做往复运动，如图2所示。小球运动过程中弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力，重力加速度为g。
（1）在小球运动的过程中，经过某一位置A时动能为，重力势能为，弹簧弹性势能为，经过另一位置B时动能为，重力势能为，弹簧弹性势能为。请根据功是能量转化的量度，证明：小球由A运动到B的过程中，小球、弹簧和地球组成的物体系统机械能守恒；
（2）若以O点为坐标原点，竖直向下为x轴正方向，建立一维坐标系，如图2所示，
a.请在图3中画出小球从O运动到P的过程中，弹簧弹力的大小F随相对于O点的位移x变化的图象。根据F-x图象求：小球从O运动到任意位置x的过程中弹力所做的功W，以及小球在此位置时弹簧的弹性势能；
b.已知小球质量为m。求小球经过OP中点时瞬时速度的大小v。
（3）若以平衡位置为坐标原点O'，竖直向下为x轴正方向，建立一维坐标系，选取小球处在的平衡位置为参考平面（系统的势能为零），请根据功是能量转化的量度，求小球运动到O'点下方x处时系统的势能。

3 . 某同学制作了一个“竖直加速度测量仪”，可以用来测量竖直上下电梯运行时的加速度，其构造如图（a）所示。把一根轻弹簧上端固定在小木板上，下端悬吊0.9N重物时弹簧下端的指针指木板上刻度为C的位置，把悬吊1.0N重物时指针位置的刻度标记为0，以后该重物就固定在弹簧上，和小木板上的刻度构成了一个“竖直加速度测量仪”。
（1）请在图中除0以外的6根长刻度线旁，标注加速度的大小，示数的单位用m/s²表示，加速度的方向向上为正、向下为负。说明标注的原理。
（2）如图（b）所示，若以小球的平衡位置0为坐标原点，竖直向下建立x轴。已知弹簧的劲度系数为k，弹簧始终处于弹性限度内。如果把弹性势能与重力势能的和称为系统的势能，并规定小球处在平衡位置时系统的势能为零，请根据“功是能量转化的量度”，证明：小球运动到0点下方x处时系统的势能。
（3）势能也叫位能，与相互作用的物体的相对位置有关。物体的重力势能总是相对于某一个水平面来说的，选择不同的参考平面，物体的重力势能的数值是不同的，在参考平面上方的物体重力势能是正值，在参考平面下方的物体重力势能是负值：请问弹簧的弹性势能可以是负值吗？请用学过的理论分析论证你的观点。

4 . 如图甲所示，一根轻质弹簧上端固定在天花板上，下端挂一小球（可视为质点），弹簧处于原长时小球位于O点。将小球从O点由静止释放，小球沿竖直方向在OP之间做往复运动，如图乙所示。小球运动过程中弹簧始终处于弹性限度内。不计空气阻力，重力加速度为g。
（1）在小球运动的过程中，经过某一位置A时动能为E_k1，重力势能为E_P1，弹簧弹性势能为E_弹1，经过另一位置B时动能为E_k2，重力势能为E_P2，弹簧弹性势能为E_弹2。请根据功是能量转化的量度，证明：小球由A运动到B的过程中，小球、弹簧和地球组成的物体系统机械能守恒；
（2）已知弹簧劲度系数为k。以O点为坐标原点，竖直向下为x轴正方向，建立一维坐标系O-x，如图乙所示。
a．请在图丙中画出小球从O运动到P的过程中，弹簧弹力的大小F随相对于O点的位移x变化的图象。根据F-x图象求：小球从O运动到任意位置x的过程中弹力所做的功W，以及小球在此位置时弹簧的弹性势能 E_弹；（设弹簧在原长时弹性势能为0）
b．已知小球质量为m。求小球运动过程中瞬时速度最大值的大小v。

5 . 弹簧对物体的作用力为变力，在弹性限度内满足胡克定律，弹力做功同时伴随着弹性势能的改变。如图1所示，劲度系数为k的竖直轻弹簧固定在水平地面上，最上端位于O点。用手持一质量为m的物块从弹簧上端将弹簧缓缓下压到A点，手撤开后，物块保持静止，如图2所示。不计空气阻力，重力加速度为g。以下过程均在弹性限度内。
(1)求O、A两点间的距离d；
(2)若让物块从O点上方某一位置释放，到达O点时的速度大小为v₁，然后向下压缩弹簧，如图3所示。O'是A点正下方的一点，且OA=AO'。已知物块到达O'点的速度大小为v_2.
a.设弹簧弹力的大小为F，物块与O点间的距离为x，请在图4中画出F随x变化的示意图，并在此基础上，求物块在O'点时弹簧的弹性势能E_pO'；
b.请从能量的角度分析说明v₁=v_2.

6 . 在倾角为θ的固定光滑斜面上有两个用轻弹簧相连的物块A、B，它们的质量分别为m₁和 m₂，弹簧劲度系数为 k，C为一固定挡板，系统处于静止状态。现用一平行于斜面向上的拉力拉物块A，使它以加速度 a 沿斜面向上做匀加速运动直到物块B刚要离开挡板C。在此过程中（　　）

A．物块A运动的距离为	B．拉力的最大值为（m1＋m2）gsin θ
C．弹簧的弹性势能持续增大	D．拉力做功的功率一直增大

7 . 我们知道，处于自然状态的水都是向重力势能更低处流动的，当水不再流动时，同一滴水在水表面的不同位置具有相同的重力势能，即水面是等势面。通常稳定状态下水面为水平面，但将一桶水绕竖直固定中心轴以恒定的角速度ω转动，稳定时水面呈凹状，如图所示。这一现象依然可用等势面解释：以桶为参考系，桶中的水还多受到一个“力”，同时水还将具有一个与这个“力”对应的“势能”。为便于研究，在过桶竖直轴线的平面上，以水面最低处为坐标原点、以竖直向上为y轴正方向建立xOy直角坐标系，质量为m的小水滴（可视为质点）在这个坐标系下具有的“势能”可表示为。该“势能”与小水滴的重力势能之和为其总势能，水会向总势能更低的地方流动，稳定时水表面上的相同质量的水将具有相同的总势能。根据以上信息可知，下列说法中正确的是（　　）

A．与该“势能”对应的“力”的方向指向O点

B．与该“势能”对应的“力”的大小随x的增加而减小

C．该“势能”的表达式是选取了y轴处“势能”为零

D．稳定时桶中水面的纵截面为圆的一部分

8 . 如图甲所示，一轻质弹簧左端固定在墙壁上，右端与置于水平面上的质量为m的小滑块相连．在以下的讨论中小滑块可视为质点，弹簧始终在弹性限度内，取弹簧原长时弹性势能为0，且空气阻力可忽略不计．

（1）若水平面光滑，以弹簧原长时小滑块的位置O为坐标原点，建立水平向右的坐标轴Ox，如图甲所示．
①请在图乙中画出弹簧弹力F与小滑块所在位置坐标x的关系图像．
教科书中讲解了由v - t图像求位移的方法，请你借鉴此方法，并根据F-x图像推导出小滑块在x位置时弹簧弹性势能E_p的表达式．（已知弹簧的劲度系数为k）
②小滑块在某轻质弹簧的作用下，沿光滑水平面在O点附近做往复运动，其速度v的大小与位置坐标x的关系曲线如图丙所示，其中v_m和x₀皆为已知量，请根据图丙中v-x图像提供的信息求解本题中弹簧的劲度系数k′．
（2）若水平面不光滑，且已知小滑块与水平面之间的动摩擦因数为μ．仍以弹簧原长时小滑块的位置O为坐标原点，建立水平向右的坐标轴Ox，将小滑块沿水平面向右拉到距离O点为l₀的P点按住（l₀>μmg/k），如图丁所示．计算中可以认为滑动摩擦力与最大静摩擦力大小相等，已知重力加速度为g，弹簧的劲度系数为k．
①若放手后小滑块第一次经过O点向左运动至最远点Q，求Q点与O点的距离，并分析如果小滑块在Q点停不住，l₀与μ、m和k等物理量之间应满足什么条件；
②若放手后小滑块第二次经过O点后在向右运动的过程中逐渐减速最终静止，求小滑块从P点开始运动的整个过程中所通过的总路程．

9 . 如图所示，一劲度系数为k的轻弹簧的上端固定，下端与小球相连接，小球的质量为m，小球静止于O点．现将小球拉到O点下方距离为A的位置，由静止释放，此后运动过程中始终未超过弹簧的弹性限度．规定平衡位置处为重力势能和弹簧弹性势能的零点．以平衡位置O为坐标原点建立如图所示的竖直向下的一维坐标系Ox．忽略空气阻力的影响．
（1）从运动与相互作用观点出发，解决以下问题：
a．求小球处于平衡状态时弹簧相对原长的伸长量s；
b．证明小球做简谐运动；
（2）从教科书中我们明白了由v﹣t图象求直线运动位移的思想和方法；从机械能的学习，我们理解了重力做功的特点并进而引入重力势能，由此可以得到重力做功与重力势能变化量之间的关系．图象法和比较法是研究物理问题的重要方法，请你借鉴此方法，从功与能量的观点出发，解决以下问题：
a．小球运动过程中，小球相对平衡位置的位移为x时，证明系统具有的重力势能和弹性势能的总和Ep的表达式为；
b．求小球在振动过程中，运动到平衡位置O点下方距离为时的动能Ek．并根据小球运动过程中速度v与相对平衡位置的位移x的关系式，画出小球运动的全过程中速度随振动位移变化的v﹣x图象．

10 . 如图所示，内壁光滑的直圆筒固定在水平地面上，一轻质弹簧一端固定在直圆筒的底端，其上端自然状态下位于O点处．将一质量为m、直径略小于直圆筒的小球A缓慢的放在弹簧上端，其静止时弹簧的压缩量为x₀．现将一与小球A直径等大的小球B从距A小球3x₀的P处释放，小球B与小球A碰撞后立即粘连在一起向下运动，它们到达最低点后又向上运动，并恰能回到O点．已知两小球均可视为质点，弹簧的弹性势能为kx²，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量．求：
（1）弹簧的劲度系数k；
（2）小球B的质量m_B；
（3）小球A与小球B一起向下运动时速度的最大值v_m．