【推荐1】已知数列：的前项和为，则_______．

【推荐2】记上的可导函数的导函数为，满足的数列称为“牛顿数列”．若函数，且，数列为牛顿数列．设，已知，则______，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，则的最大值为______．

【推荐3】已知数列的前n项和为，且，，若对任意的正整数n，不等式恒成立，则的取值范围为______．

【推荐2】半径为的球被平面截下的部分叫做球缺，垂直于截面的直径被截后的线段叫做球缺的高，球缺的体积公式为.已知圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，在圆锥内部放置一个小球，使其与圆锥侧面和底面都相切，过小球与圆锥侧面的切点所在的平面将小球分成两部分，则较小部分的球缺的体积与球的体积之比为_______.

【推荐3】南北朝时期的伟大数学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．已知曲线，直线为曲线在点处的切线，如图所示，阴影部分为曲线，直线以及轴所围成的平面图形，记该平面图形绕轴旋转一周所得的几何体为．过点作的水平截面，所得截面面积是______（用表示）．试借助一个圆锥，并利用祖暅原理，得出的体积是______．

【推荐1】矩形中，，现将沿对角线向上翻折，得到四面体，则该四面体外接球的表面积为______；若翻折过程中的长度在范围内变化，则点的运动轨迹的长度是______．

【推荐2】如图1，在一个正方形S₁S₂S₃S₄内，有一个小正方形和四个全等的等边三角形.将四个等边三角形折起来，使S₁、S₂、S₃、S₄重合于点S，且折叠后的四棱锥S－ABCD的外接球的表面积是16π(如图2)，则四棱锥S－ABCD的体积是___________；若在四棱锥S－ABCD内放一个正方体，使正方体可以在四棱锥S－ABCD内任意转动，则正方体棱长的最大值为___________.

【推荐3】在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积是______.