【推荐1】已知椭圆C的左、右焦点分别为，离心率为，过点且与x轴垂直的直线与椭圆C在第一象限交于点P，且的面积为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点的直线与y轴正半轴交于点S，与曲线C交于点E，轴，过点S的另一直线与曲线C交于M，N两点，若，求所在的直线方程．

【推荐2】已知点是椭圆：（）的右顶点，椭圆的离心率为，点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点能否作两条不同的直线，分别与椭圆相交于点，及点，，且？如果能，求出这两条直线的斜率的关系；如果不能，说明理由.

【推荐3】已知椭圆经过点，离心率为，直线经过椭圆的右焦点交椭圆于两点，点在直线上的射影依次为点.

（1）求椭圆的方程；
（2）若直线交轴于点，且，当直线的倾斜角变化时，探求的值是否为定值？若是，求出的值，否则，说明理由；
（3）连接，试探索当直线的倾斜角变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由.

【推荐1】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的长轴长为4，且经过点，其中e为椭圆C的离心率.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的直线l交椭圆C于A，B两点，点B关于x轴的对称点为，直线交x轴于点Q，过点Q作l的垂线，垂足为H，求证：点H在定圆上.

【推荐2】设双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线的左、右准线与其一条渐近线的交点分别为，，四边形的面积为4.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知为圆的切线，且与相交于，两点，求.

【推荐3】已知，分别是椭圆：（）的左、右顶点，为的上顶点，是上在第一象限的点，，直线，的斜率分别为，，且．
(1)求的方程；
(2)直线与交于点，与轴交于点，求的取值范围．

【推荐1】已知椭圆的焦距为4，短轴长为4.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）已知点，过点P作相互垂直的两条直线分别交椭圆于另一点A，B，求点P到AB距离的最大值.

【推荐2】已知椭圆的离心率为，焦距为4．
(1)求椭圆的方程；
(2)设过椭圆的右焦点的动直线与椭圆交于、两点（点在轴上方），、为椭圆的左、右顶点，直线，与轴分别交于点、，为坐标原点，求的值．

【推荐3】已知分别为椭圆的左、右焦点，过点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点，的周长为8.
(1)若的面积为，求直线的方程；
(2)过两点分别作直线的垂线，垂足分别是，证明：直线与交于定点.