【推荐1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上一点，且当轴时，.
(1)求的方程；
(2)设在点处的切线交轴于点，证明：.

【推荐2】已知椭圆的焦距与短轴长相等，点在椭圆上.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若为椭圆上两点，是以（斜率存在）为斜边的直角三角形（为坐标原点），求的最大值.

【推荐3】已知椭圆的左右焦点为、，为椭圆上的动点，若且当时，.
(1)求椭圆的方程：
(2)过作不过原点的直线与椭圆相交，另一个交点为，为原点，求面积的最大值.

【推荐1】已知点在抛物线：上．
（1）求的方程；
（2）过上的任一点（与的顶点不重合）作轴于，试求线段中点的轨迹方程；
（3）在上任取不同于点的点，直线与直线交于点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求面积的最小值．

【推荐2】已知抛物线C：的焦点为F，M为抛物线C上一点，且.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l：与C交于M.N两点，在x轴上是否存在定点P，使得当m变化时，总有∠OPM=∠OPN成立？若存在，求出点P的坐标；不存在，请说明理由.

【推荐3】设抛物线位于第一象限的点M与焦点F的距离为，点M到x轴的距离为2p，直线l与抛物线相交于A，B两点，且．
(1)求抛物线的方程和点M的坐标；
(2)探究直线l是否恒过定点，并说明理由．

【推荐1】已知椭圆的左，右焦点分别为，，且，与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线，分别交椭圆于，和点，，且点，分别是弦，的中点．

       

(1)求椭圆的标准方程；
(2)若，求以为直径的圆的方程；
(3)直线是否过轴上的一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，说明理由．

【推荐2】在平面直角坐标系xoy中，已知椭圆C：，F是椭圆的右焦点且______，从下列条件中任选一个补充在上面问题中并作答：注：如果选择多个条件作答，按第一个计分．

条件①：椭圆C的离心率，焦点到相应准线的距离是3．
条件②：椭圆C与圆M：外切，又与圆N：外切．
(1)求椭圆C的方程．
(2)已知A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，A在x轴的上方，连接AF，BF并分别延长交椭圆C于D，E两点，证明：直线DE过定点．

【推荐3】已知过点的曲线的方程为．
(1)求曲线的方程；
(2)点为曲线与轴正半轴的交点，不过点且不垂直于坐标轴的直线交曲线于、两点，直线、分别与轴交于、两点．若、的横坐标互为倒数.问：直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，请说明理由．