【推荐1】如图，直三棱柱中，，M为侧棱的中点.

（1）试探究在上是否存在点，使面，若存在，试证明你的结论；若不存在，请说明理由.
（2）若与平面所成角的正弦值为，求该三棱柱的体积.

【推荐2】在如图所示的多面体中，四边形是边长为2的菱形，，平面，，，.

（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【推荐3】如图，在三棱锥中，，点D，M分别为AC，PB的中点，．

(1)证明：//平面BDF；
(2)若平面//平面BDF，其中平面，，证明：AN是AM在平面PAC上的投影．

【推荐1】如图，在三棱柱中，平面平面，，，，且，是棱上的一点.
   
(1)求证：；
(2)是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

【推荐2】如图，在空间几何体ABCDFE中，底面是边长为2的正方形，，，.
（1）求证：平面DEF；
（2）已知，若在平面上存在点，使得平面，试确定点的位置.

【推荐3】三棱柱中，平面平面，， ， ，点F为棱的中点，点E为线段上的动点.

（1）求证：；
（2）若点E为线段的中点，求点C到平面的距离.

【推荐2】某企业为了增加某种产品的生产能力，提出甲、乙两个方案．甲方案是废除原有生产线并引进一条新生产线，需一次性投资1000万元，年生产能力为300吨；乙方案是改造原有生产线，需一次性投资700万元，年生产能力为200吨；根据市场调查与预测，该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示，无论是引进新生产线还是改造原有生产线，设备的使用年限均为6年，该产品的销售利润为1.5万元/吨．
（Ⅰ）根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量的估计值，并假设每年的销售量相互独立．
（i）根据频率分布直方图估计年销售利润不低于270万的概率；
（ii）以企业6年的净利润的期望值作为决策的依据，试判断该企业应选择哪个方案．（6年的净利润=6年销售利润-投资费用）

【推荐3】某场比赛甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关学生安全知识的问题.已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是.乙、丙两个家庭都回答正确的概率是，各家庭是否回答正确互不影响，
(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；
(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率.

【推荐2】面对环境污染，党和政府高度重视，各级环保部门制定了严格措施治理污染，同时宣传部门加大保护环境的宣传力度，因此绿色低碳出行越来越成为市民的共识，为此邢台市在市区建立了公共自行车服务系统，市民凭本人二代身份证到公共自行车服务中心办理诚信借车卡，初次办卡时卡内预先赠送分，当诚信积分为时，借车卡自动锁定，限制借车，用户应持卡到公共自行车服务中心以元购个积分的形式再次激活该卡，为了鼓励市民租用公共自行车出行，同时督促市民尽快还车，方便更多的市民使用，公共自行车按每车每次的租用时间进行扣分缴费，具体扣分标准如下：①租用时间不超过小时，免费；②租用时间为小时以上且不超过小时，扣分；⑧租用时间为小时以上且不超过小时，扣分；④租用时间为小时以上且不超过小时，扣分；⑤租车时间超过小时除扣分外，超出时间按每小时扣分收费（不足小时的部分按1小时计算）．甲，乙两人独立出行，各租用公共自行车一次，且两人租车时间都不会超过小时，设甲、乙租用时间不超过一小时的概率分别是，；租用时间为1小时以上且不超过小时的概率分别是，；租用时间为小时以上且不超过小时的概率分别是，．
（1）求甲比乙所扣积分多的概率；
（2）设甲、乙两人所扣积分之和为随机变量，求的分布列．

【推荐3】某班组织“2人组”投篮比赛，每队2人，在每轮比赛中，每队中的两人各投篮1次，规定：每队中2人都投中则该队得3分；若只有1人投中，则该队得1分若没有人投中，则该队得－1分．队由甲、乙两名同学组成，甲投球一次投中的概率为，乙投球一次投中的概率为，且甲、乙投中与否互不影响，在各轮比赛中投中与否也互不影响．
（Ⅰ）求队在一轮比赛中的得分不低于1分的概率；
（Ⅱ）若共进行五轮比赛，记“队在一轮比赛中得分不低于1分”恰有次，求的期望和方差；
（Ⅲ）若进行两轮比赛，求队两轮比赛中得分之和的分布列和期望．