【推荐1】已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于、两点，且的中点为，求双曲线的方程.

【推荐2】已知双曲线：的离心率为，且右焦点到其渐近线的距离为．
(1)求双曲线方程；
(2)设为双曲线右支上的动点．在轴负半轴上是否存在定点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】某电厂冷却塔的外形是由双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转所形成的曲面.如图所示，已知它的最小半径为，上口半径为，下口半径为，高为，选择适当的平面直角坐标系.

(1)求此双曲线的方程；
(2)定义：以（1）中求出的双曲线的实轴为虚轴，以的虚轴为实轴的双曲线叫做的共轭双曲线，求双曲线的方程；
(3)对于（2）中的双曲线､的离心率分别为､，写出与满足的一个关系式，并证明.

【推荐1】已知双曲线：（，）的离心率为，右焦点到的一条渐近线的距离为1.
(1)求的标准方程；
(2)过点的直线与交于，两点，点在上，且线段轴.问：直线是否经过轴上的一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明理由.

【推荐2】已知双曲线：的离心率为，若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为．已知点为抛物线内一定点，过作两条直线交抛物线于，且分别是线段的中点．

（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若，证明：直线过定点．

【推荐3】已知椭圆M的焦点与双曲线N：的顶点重合，且椭圆M短轴的端点到双曲线N渐近线的距离为3．
（1）求椭圆M的方程；
（2）已知直线l与椭圆M交于A，B两点，若弦中点为，求直线的方程．

【推荐1】已知，分别是椭圆：的左、右焦点，，分别是椭圆的左、右顶点，，且（其中为坐标原点）的中点坐标为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知动直线与椭圆相交于，两点，已知点，求证：是定值.

【推荐2】过点作圆的切线，切点分别为，.直线恰好经过椭圆的右顶点和上顶点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设是椭圆上一点，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值.

【推荐3】已知椭圆的离心率为，右焦点为F，O为坐标原点，点Q在椭圆C上，，且.
（1）求椭圆C的标准方程.
（2）点为椭圆C长轴上的一个动点，过点Р且斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，证明：为定值.

【推荐1】已知O是平面直角坐标系的原点，双曲线.
（1）过双曲线的右焦点作x轴的垂线，交于A、B两点，求线段AB的长；
（2）设M为的右顶点，P为右支上任意一点，已知点T的坐标为，当的最小值为时，求t的取值范围；
（3）设直线与的右支交于A，B两点，若双曲线右支上存在点C使得，求实数m的值和点C的坐标.

【推荐2】(奥班)已知双曲线
(1) 求双曲线的渐近线方程；
(2) 已知点的坐标为(0,1)．设是双曲线上的点，是点关于原点的对称点．记,求的取值范围；
(3) 已知点的坐标分别为，为双曲线上在第一象限内的点．记为经过原点与点的直线，为截直线所得线段的长．试将表
示为直线的斜率的函数．

【推荐3】已知中心在原点的双曲线C的右焦点为，实轴长为.
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线与双曲线C左支交于A、B两点，求k的取值范围；
(3)在(2)的条件下，线段AB的垂直平分线l₀与y轴交于，求m的取值范围．