【推荐1】如图，在三棱锥中，，，，，点为边的中点.

（Ⅰ）证明：平面平面；
（Ⅱ）求三棱柱的体积.

【推荐2】亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.假设我们把亭子看成由一个圆锥与一个圆柱构成的几何体（如图2）.一般地，设圆锥中母线与底面所成角的大小为，当时，方能满足建筑要求.已知圆锥高为米，底面半径为米，圆柱高为3米，底面半径为2米.
   
(1)求几何体的体积；
(2)如图2，设为圆柱底面半圆弧的三等分点，求圆柱母线和圆锥母线所在异面直线所成角的正切值，并判断该亭子是否满足建筑要求.

【推荐3】兰州牛肉面是人们喜欢的快餐之一，面条的宽度有细面、二细、毛细、韭叶、二宽、大宽等.现将体积为1000的面团经过第一次拉伸成长为100cm的圆柱型面条，再经过第二次对折拉伸成长为的面条，……，小徐同学喜欢吃的面条的截面直径不超过0.5cm，求至少经过多少次对折拉伸之后面条才符合小徐同学的要求？（单位：cm.每次对折拉伸相等的长度，面条的粗细是均匀的，拉面师傅拉完面后手中剩余面忽略不计）

【推荐1】如图，在三棱锥中，平面，点分别是和的中点，设，直线与直线所成的角为

(1)求的长；
(2)求直线与平面所成角的正弦值．

【推荐2】（如图）已知正方体的棱长均为1，为棱上的点，为棱的中点，异面直线与所成角的大小为，求的值.

【推荐3】如图，在三棱锥中，底面.点D，E，N分别为棱的中点，M是线段的中点，，.

（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）已知点H在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长.

【推荐1】如图，已知三棱台的高为1，，为的中点，，，平面平面．

(1)求证：平面；
(2)求与平面所成角的大小．

【推荐2】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，是正三角形，，是的中点.

（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.

【推荐3】某直四棱柱被平面所截几何体如图所示，底面为菱形，

（1）若，求证：平面；
（2）若，，，直线与底面所成角为30º，求直线与平面所成角的正弦值.