【推荐1】已知椭圆过点，点为其左顶点，且的斜率为.
(1)求的方程；
(2)为椭圆上两个动点，且直线与的斜率之积为，，为垂足，求的最大值.

【推荐2】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，过椭圆C上一点分别作垂直于两条坐标轴的垂线，分别交椭圆于另外两点Q，R，且△PQR的面积为．

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设不过椭圆上顶点B的直线l交椭圆C于M，N两点，且以线段MN为直径的圆经过点B，线段MN的垂直平分线交x轴于点S，求的取值范围．

【推荐3】已知椭圆E：过，两点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)已知，过的直线l与E交于M，N两点，求证：．

【推荐1】已知椭圆经过点离心率.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）经过椭圆左焦点的直线(不经过点且不与轴重合)与椭圆交于两点，与直线:交于点，记直线的斜率分别为.则是否存在常数，使得向量共线？若存在求出的值；若不存在，说明理由.

【推荐2】已知椭圆的左、右焦点分别为，，左顶点为，离心率为，经过的直线交椭圆于两点，的周长为8．
(1)求椭圆的方程；
(2)过直线上一点P作椭圆C的两条切线，切点分别为，
①证明：直线过定点；
②求的最大值．
备注：若点在椭圆C：上，则椭圆C在点处的切线方程为．

【推荐3】已知椭圆的上顶点到两焦点的距离和为4,离心率
(1)求椭圆的方程;
(2)若点A为椭圆的右顶点,过点A作相互垂直的两条射线,与椭圆分别交于不同的两点(不与左、右顶点重合),试判断直线是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

【推荐1】在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率，且椭圆上一点到点的距离的最大值为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设，为抛物线上一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于，两点，求面积的最大值.

【推荐2】在平面直角坐标系xOy中，已知点，直线，点M满足到点F的距离与它到直线l的距离之比为，记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)过点M且与C相切的直线交椭圆于A，B两点，射线MO交椭圆E于点N，试问的面积是否为定值?请说明理由．

【推荐3】已知椭圆的左、右焦点分别为、，离心率，点在椭圆上.
(1)求椭圆的方程；
(2)设过点且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线与轴交于点，求点的横坐标的取值范围；
(3)在第（2）问的条件下，求面积的最大值.

【推荐1】已知椭圆的上、下顶点分别是A，B，点E（异于A，B两点）在椭圆C上，直线EA与EB的斜率之积为，椭圆C的短轴长为2．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)点Q是椭圆C长轴上的不同于左右顶点的任意一点，过点Q作斜率不为0的直线l，l与椭圆的两个交点分别为P，N，若为定值，则称点Q为“稳定点”，问：是否存在这样的稳定点？若有，求出所有的“稳定点”；若没有，请说明理由．

【推荐2】已知椭圆的左焦点坐标为，离心率．点是椭圆上位于轴上方的一点，点，直线、分别交椭圆于异于的点、．
(1)求椭圆的标准方程
(2)若直线平行于轴，求点的横坐标．

【推荐3】已知椭圆,左右焦点为，离心率为,短轴长为．
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若直线y=x+m(m>0)与椭圆交于P、Q两点,且OP⊥OQ,求m．
(3)若点A 在椭圆上且在第一象限内,,直线AF₁与椭圆交于另外一点B,设点M在椭圆上,记三角形OAB与三角形MAB的面积分别为S₁、S₂,若S₂=3S₁,求M坐标．