为了提高智慧城市水平，某市公交公司推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表下所示：
同学甲选择指数型函数模型
（c，d均为大于零的常数）来建立经验回归方程，据此，他对数据进行了一些初步处理，如下表：其中
，
，
(1)根据表中相关数据，利用同学甲的模型建立y关于x的经验回归方程；
(2)若同学甲求得其非线性经验回归方程的残差平方和为
；同学乙选择线性回归模型
，并计算得经验回归方程为
，以及该回归模型的决定系数
；
①用决定系数
比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？
②用你认为拟合效果较好的模型预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；
参考公式：对于一组数据
，
，…，
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，
.决定系数：
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
y | 6 | 11 | 21 | 34 | 66 | 101 | 196 |
（c，d均为大于零的常数）来建立经验回归方程，据此，他对数据进行了一些初步处理，如下表：其中，，
|
|
|
|
|
|
|
62.14 | 1.54 | 140 | 2535 | 50.12 | 27694 | 3.47 |
(2)若同学甲求得其非线性经验回归方程的残差平方和为
；同学乙选择线性回归模型，并计算得经验回归方程为，以及该回归模型的决定系数；①用决定系数
比较甲乙两人所建立的模型，谁的拟合效果更好？②用你认为拟合效果较好的模型预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；
参考公式：对于一组数据
，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.决定系数：
21-22高二下·四川雅安·期中 查看更多[3]
更新时间：2022-05-20 10:13:22
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解答题
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适中
(0.65)
【推荐1】某食品店为了了解气温对某食品销售量的影响，记录了该店1月份中某5天的日销售量
（单位：千克）与该地当日最低气温
（单位：
）的数据，如下表：
（1）求与之间的线性回归方程
，并预测最低气温为
时的日销售量；
（2）设该地1月份的日最低气温
，其中
近似为样本平均数
，
近似为样本方差
，试求
.
附：①
，
；
②
，
，若，则
，
，
.
（单位：千克）与该地当日最低气温（单位：）的数据，如下表：
| 2 | 5 | 8 | 9 | 11 |
| 12 | 10 | 8 | 8 | 7 |
与之间的线性回归方程，并预测最低气温为时的日销售量；（2）设该地1月份的日最低气温
，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，试求.附：①
，；②
，，若，则，，.
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解答题-应用题
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适中
(0.65)
【推荐2】科学技术是第一生产力，创新是引领发展的第一动力.某企业积极响应国家“科技创新”的号召，大力研发新产品.为对新研发的一批产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组销售数据(
)(i=1，2，3，4，5，6)如表格所示：
（1）统计学认为，两个变量x､y的相关系数r的大小可表明两变量间的相关性强弱.一般地，如果|r|
[0.75，1]，那么相关性很强；如果|r|[0.30，0.75)，那么相关性一般；如果|r|∈[0，0.25]，那么相关性较弱.试判断变量x､y的相关性强弱.
（2）若变量x､y线性相关时，由线性回归方程求得的与x对应的产品销售量估计值
与实际值
差的绝对值小于1时，则将销售数据称为“有效数据”，现从这6组销售数据中任取2组，求抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率.(求线性回归方程时，
精确到个位)
参考公式及数据：
，
，
， 
.
)(i=1，2，3，4，5，6)如表格所示：| 试销单价(百元) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| 产品销量件 | 91 | 86 | 82 | 78 | 73 | 70 |
[0.75，1]，那么相关性很强；如果|r|[0.30，0.75)，那么相关性一般；如果|r|∈[0，0.25]，那么相关性较弱.试判断变量x､y的相关性强弱.（2）若变量x､y线性相关时，由线性回归方程求得的与x对应的产品销售量估计值
与实际值差的绝对值小于1时，则将销售数据称为“有效数据”，现从这6组销售数据中任取2组，求抽取的2组销售数据都是“有效数据”的概率.(求线性回归方程时，精确到个位)参考公式及数据：
，，， .
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解答题-问答题
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适中
(0.65)
名校
解题方法
【推荐3】新冠肺炎疫情爆发以来，口罩成了生活中的“刚需品”，为我们阻挡细菌、病毒的侵扰，但是，长时间佩戴的口罩会滋生细菌，某研究人员对某种口罩的佩戴时间以及口罩内细菌的含量进行了调查，得到了口罩内细菌含量y与时间x（单位：小时）的数据，其数据如下表所示：
(1)根据散点图可以判断，
适宜作描述y与x关系的回归方程类型，请利用以下参考数据，求出y关于x的回归方程；
(2)经过对这种细菌的研究，发现当口罩内细菌的含量超过
时，就会对人体造成伤害，此时便需要更换口罩，请你计算口罩佩戴多长时间需要更换．
参考数据：其中
．
参考公式：
用最小二乘法求经过点，，
，…，
的线性回归方程
的系数公式：
，
．
| 时间x | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
| 口罩内细菌的含量y | 4 | 11 | 27 | 49 | 96.2 | 194.8 |
适宜作描述y与x关系的回归方程类型，请利用以下参考数据，求出y关于x的回归方程；(2)经过对这种细菌的研究，发现当口罩内细菌的含量超过
时，就会对人体造成伤害，此时便需要更换口罩，请你计算口罩佩戴多长时间需要更换．参考数据：其中
． |  |  |  |  |  |  |
| 7 | 63.67 | 3.49 | 70 | 9.49 | 25.9 | 1038.02 |
用最小二乘法求经过点
，，，…，的线性回归方程的系数公式：，．
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适中
(0.65)
名校
【推荐1】粮食安全始终是关系我国国民经济发展､社会稳定和国家自立的全局性重大战略问题.化肥的施用对粮食增产增收起到了重要作用，研究粮食产量与化肥施用量的关系，是做到合理施用化肥，使其最大程度地促进粮食增产的前提.某研究团队收集了10组某作物亩化肥施用量和亩产量的数据
，
，2，3，…，10，其中
（单位：公斤）表示亩化肥施用量，（单位：百公斤）表示该作物亩产量.并对这些数据作了初步处理，得到了一些统计量的值如右表所示：表中
，
，，2，3，…，10.通过对这10组数据分析，发现当亩化肥施用量在合理范围内变化时，可用函数
模拟该作物亩产量y关于亩化肥施用量x的关系.
(1)根据表中数据，求y关于x的经验回归方程；
(2)实际生产中，在其他生产条件相同的条件下，出现了亩施肥量为30
时，该作物亩产量仅约为510的情况，请给出解释；
(3)合理施肥､科学管理，能有效提高该作物的投资效益（投资效益=产出与投入比）.经试验统计可知，该研究团队的投资效益
服从正态分布
，政府对该研究团队的奖励方案如下：若
，则不予奖励；若
，则奖励10万元；若
，则奖励30万元.求政府对该研究团队的奖励金额的数学期望.
附：①
，
；②对于一组数据（，2，3，…，n），其经验回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
，；③若随机变量X服从正态分布
，则
，
，
.
，，2，3，…，10，其中（单位：公斤）表示亩化肥施用量，（单位：百公斤）表示该作物亩产量.并对这些数据作了初步处理，得到了一些统计量的值如右表所示：表中，，，2，3，…，10.通过对这10组数据分析，发现当亩化肥施用量在合理范围内变化时，可用函数模拟该作物亩产量y关于亩化肥施用量x的关系. |  |  |  |
| 38.5 | 15 | 17.5 | 47 |
(2)实际生产中，在其他生产条件相同的条件下，出现了亩施肥量为30
时，该作物亩产量仅约为510的情况，请给出解释；(3)合理施肥､科学管理，能有效提高该作物的投资效益（投资效益=产出与投入比）.经试验统计可知，该研究团队的投资效益
服从正态分布，政府对该研究团队的奖励方案如下：若，则不予奖励；若，则奖励10万元；若，则奖励30万元.求政府对该研究团队的奖励金额的数学期望.附：①
，；②对于一组数据（，2，3，…，n），其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；③若随机变量X服从正态分布，则，，.
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适中
(0.65)
名校
【推荐2】某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y(g)与尺寸x(mm)之间近似满足关系式
c为大于0的常数).按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间
内时为优等品.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：
（1）现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记ξ为取到优等品的件数，试求随机变量ξ的分布列和期望；
（2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：
根据所给统计量，求y关于x的回归方程.
附:对于样本
，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
.
c为大于0的常数).按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品.现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：尺寸 | 38 | 48 | 58 | 68 | 78 | 88 |
质量 | 16.8 | 18.8 | 20.7 | 22.4 | 24 | 25.5 |
质量与尺寸的比 | 0.442 | 0.392 | 0.357 | 0.329 | 0.308 | 0.290 |
（2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：
|
|
|
|
75.3 | 24.6 | 18.3 | 101.4 |
附:对于样本
，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：.
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适中
(0.65)
【推荐3】某公司生产一种产品，从流水线上随机抽取100件产品，统计其质量指数并绘制频率分布直方图（如图1）：
产品的质量指数在
的为三等品，在
的为二等品，在
的为一等品，该产品的三、二、一等品的销售利润分别为每件1.5，3.5,5.5（单位：元），以这100件产品的质量指数位于各区间的频率代替产品的质量指数位于该区间的概率.
（1）求每件产品的平均销售利润；
（2）该公司为了解年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用和年销售量
数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值.
表中
，
，
，
根据散点图判断，
可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程.
（ⅰ）建立关于的回归方程；
（ⅱ）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润-营销费用，取
）
参考公式：对于一组数据：
，
，
，
，其回归直线
的斜率和截距的最小乘估计分别为
，
产品的质量指数在
的为三等品，在的为二等品，在的为一等品，该产品的三、二、一等品的销售利润分别为每件1.5，3.5,5.5（单位：元），以这100件产品的质量指数位于各区间的频率代替产品的质量指数位于该区间的概率.（1）求每件产品的平均销售利润；
（2）该公司为了解年营销费用
（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用和年销售量数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值. |  |  |  |
| 16.30 | 24.87 | 0.41 | 1.64 |
表中
，，，根据散点图判断，
可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程.（ⅰ）建立
关于的回归方程；（ⅱ）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？（收益=销售利润-营销费用，取
）参考公式：对于一组数据：
，，，，其回归直线的斜率和截距的最小乘估计分别为，
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适中
(0.65)
名校
【推荐1】“爱国，是人世间最深层、最持久的情感，是一个人立德之源、立功之本.”在中华民族几千年绵延发展的历史长河中，爱国主义始终是激昂的主旋律.爱国汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入x（亿元）与科技改造直接收益y（亿元）的数据统计如下：
当
时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：
；模型②：
；当
时，确定y与x满足的线性回归方程为：
.
（1）根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为17亿元时的直接收益.
（附：刻画回归效果的相关指数
，
.）
（2）为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小；
（附：用最小二乘法求线性回归方程
的系数公式
；
）
（3）科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布
，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过
，不予奖励；若发动机的热效率超过但不超过
，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过，每台发动机奖励5万元.求每台发动机获得奖励的数学期望.
（附：随机变量服从正态分布
，则
，
.）
| 2 | 3 | 4 | 6 | 8 | 10 | 13 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| 13 | 22 | 31 | 42 | 50 | 56 | 58 | 68.5 | 68 | 67.5 | 66 | 66 |
时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：；模型②：；当时，确定y与x满足的线性回归方程为：.（1）根据下列表格中的数据，比较当
时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为17亿元时的直接收益.回归模型 | 模型① | 模型② |
回归方程 |
|
|
|
|
|
（附：刻画回归效果的相关指数
，.）（2）为鼓励科技创新，当科技改造的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方程为预测依据，比较科技改造投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小；
（附：用最小二乘法求线性回归方程
的系数公式；）（3）科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布
，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过，不予奖励；若发动机的热效率超过但不超过，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过，每台发动机奖励5万元.求每台发动机获得奖励的数学期望.（附：随机变量
服从正态分布，则，.）
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适中
(0.65)
【推荐2】某种农作物可以生长在滩涂和盐碱地，它的灌溉是将海水稀释后进行灌溉．某实验基地为了研究海水浓度（％）对亩产量（吨）的影响，通过在试验田的种植实验，测得了该农作物的亩产量与海水浓度的数据如下表.
绘制散点图发现，可以用线性回归模型拟合亩产量（吨）与海水浓度（％）之间的相关关系，用最小二乘法计算得与之间的线性回归方程为
.
(1)求
的值；（参考公式：）
(2)统计学中常用相关指数来刻画回归效果，越大，回归效果越好，如假设
，就说明预报变量的差异有
是解释变量引起的．请计算相关指数（精确到0.01），并指出亩产量的变化多大程度上是由灌溉海水浓度引起的？
附残差
相关指数
其中
（％）对亩产量（吨）的影响，通过在试验田的种植实验，测得了该农作物的亩产量与海水浓度的数据如下表.| 海水浓度（％） | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 亩产量（吨） | 0.57 | 0.53 | 0.44 | 0.36 | 0.30 |
残差 | -0.01 | 0.02 | m | n | 0 |
（吨）与海水浓度（％）之间的相关关系，用最小二乘法计算得与之间的线性回归方程为.(1)求
的值；（参考公式：）(2)统计学中常用相关指数
来刻画回归效果，越大，回归效果越好，如假设，就说明预报变量的差异有是解释变量引起的．请计算相关指数（精确到0.01），并指出亩产量的变化多大程度上是由灌溉海水浓度引起的？附残差
相关指数其中
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适中
(0.65)
解题方法
【推荐3】目前，新冠病毒引起的疫情仍在全球肆虐，在党中央的正确领导下，全国人民团结一心，使我国疫情得到了有效的控制．为了应对最新型的奥密克戎病毒，各大药物企业积极投身到新疫苗的研发中．某药企为评估一款新药的药效和安全性，组织一批志愿者进行临床用药实验，结果显示临床疗效评价指标A的数量y与连续用药天数x具有相关关系．刚开始用药时，指标A的数量y变化明显，随着天数增加，y的变化趋缓．根据志愿者的临床试验情况，得到了一组数据
，
，表示连续用药i天，表示相应的临床疗效评价指标A的数值．该药企为了进一步研究药物的临床效果，建立了y关于x的两个回归模型：
模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：
；
模型②：由样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：
的附近，令
，则有
，
，
，
．
(1)根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程；
(2)根据下列表格中的数据，说明哪个模型的预测值精度更高、更可靠；
(3)根据（2）中精确度更高的模型，预测用药一个月后，临床疗效评价指标A相对于用药半个月的变化情况（一个月以30天计，结果保留两位小数）．
参考数据：
．
，，表示连续用药i天，表示相应的临床疗效评价指标A的数值．该药企为了进一步研究药物的临床效果，建立了y关于x的两个回归模型：模型①：由最小二乘公式可求得y与x的线性回归方程：
；模型②：由样本点的分布，可以认为样本点集中在曲线：
的附近，令，则有，，，．(1)根据所给的统计量，求模型②中y关于x的回归方程；
(2)根据下列表格中的数据，说明哪个模型的预测值精度更高、更可靠；
(3)根据（2）中精确度更高的模型，预测用药一个月后，临床疗效评价指标A相对于用药半个月的变化情况（一个月以30天计，结果保留两位小数）．
| 回归模型 | 模型① | 模型② |
残差平方和 | 102.28 | 36.19 |
．
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适中
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解题方法
【推荐1】某出版社单册图书的成本费y（元）与印刷册数x（千册）有关，经统计得到数据如下：
(1)根据以上数据画出散点图（可借助统计软件），并根据散点图判断：
与
中哪一个适宜作为回归方程模型?
(2)根据（1）的判断结果，试建立成本费y关于印刷册数x的回归方程；
(3)利用回归方程估计印刷26000册图书的单册成本（结果保留两位小数）．
| x | 1 | 2 | 3 | 5 | 7 | 10 | 11 | 20 | 25 | 30 |
| y | 9.02 | 5.27 | 4.06 | 3.03 | 2.59 | 2.28 | 2.21 | 1.89 | 1.80 | 1.75 |
与中哪一个适宜作为回归方程模型?(2)根据（1）的判断结果，试建立成本费y关于印刷册数x的回归方程；
(3)利用回归方程估计印刷26000册图书的单册成本（结果保留两位小数）．
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解答题-问答题
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名校
解题方法
【推荐2】足球是当今世界传播范围最广、参与人数最多的体育运动，具有广泛的社会影响，深受世界各国民众喜爱．
（1）为调查大学生喜欢足球是否与性别有关，随机选取50名大学生进行问卷调查，当问卷评分不低于80分则认为喜欢足球，当评分低于80分则认为不喜欢足球，这50名大学生问卷评分的结果用茎叶图表示如图：
请依据上述数据填写如下列联表：
请问是否有
的把握认为喜欢足球与性别有关？
参考公式及数据：
，
．
（2）已知某国“糖果盒”足球场每年平均上座率与该国成年男子国家足球队在国际足联的年度排名线性相关，数据如表
，
，
，
求变量与的线性回归方程
，并预测排名为1时该球场的上座率．
参考公式及数据：
，
；
．
（1）为调查大学生喜欢足球是否与性别有关，随机选取50名大学生进行问卷调查，当问卷评分不低于80分则认为喜欢足球，当评分低于80分则认为不喜欢足球，这50名大学生问卷评分的结果用茎叶图表示如图：
请依据上述数据填写如下列联表：
喜欢足球 | 不喜欢足球 | 总计 | |
女生 |
|
|
|
男生 |
|
|
|
总计 |
|
|
|
请问是否有
的把握认为喜欢足球与性别有关？参考公式及数据：
，．
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
（2）已知某国“糖果盒”足球场每年平均上座率
与该国成年男子国家足球队在国际足联的年度排名线性相关，数据如表，，，年度排名 | 9 |
| 6 |
| 3 |
平均上座率 | 0.9 | 0.91 | 0.92 | 0.93 | 0.95 |
与的线性回归方程，并预测排名为1时该球场的上座率．参考公式及数据：
，；．
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适中
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解题方法
【推荐3】某玩具加工厂2021年1月至5月的玩具销售量x与利润y的统计数据如下表：
(1)从这5个月的利润中任选2个，分别记为m，n，求事件“m，n至少有一个小于30”的概率；
(2)已知销售量x与利润y近似满足线性关系，请根据表中前4个月的数据，求出y关于x的线性回归方程
；若由线性回归方程得到的利润的估计数据与真实数据的误差不超过2万元，则认为得到的利润的估计数据是理想的.请用表格中第5个月的数据检验由回归方程所得的第5个月的利润的估计数据是否理想.
附：
.
| 月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 销售量X/万件 | 3 | 6 | 4 | 7 | 8 |
| 利润Y/万元 | 19 | 34 | 26 | 41 | 46 |
(2)已知销售量x与利润y近似满足线性关系，请根据表中前4个月的数据，求出y关于x的线性回归方程
；若由线性回归方程得到的利润的估计数据与真实数据的误差不超过2万元，则认为得到的利润的估计数据是理想的.请用表格中第5个月的数据检验由回归方程所得的第5个月的利润的估计数据是否理想.附：
.
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