在数学中,双曲函数是与三角函数类似的函数,最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数,其中双曲正弦:,双曲余弦函数:,(e是自然对数的底数)
(1)解方程:;
(2)写出双曲正弦与两角和的正弦公式类似的展开式:_________,并证明;
(3)无穷数列,是否存在实数a,使得?若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由.
(1)解方程:;
(2)写出双曲正弦与两角和的正弦公式类似的展开式:_________,并证明;
(3)无穷数列,是否存在实数a,使得?若存在,求出a的值,若不存在,请说明理由.
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更新时间:2022-05-28 23:09:08
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【推荐1】已知数列满足:,. (其中为自然对数的底数,)
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)设,是否存在实数,使得对任意成立?若存在,求出的一个值;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)证明:;
(Ⅱ)设,是否存在实数,使得对任意成立?若存在,求出的一个值;若不存在,请说明理由.
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解答题-证明题
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困难
(0.15)
【推荐2】已知数列是各项都不为0的无穷数列,对任意的n≥3,n,恒成立.
(1)如果,,成等差数列,求实数的值;
(2)已知=1.①求证:数列是等差数列;②已知数列中,.数列是公比为q的等比数列,满足,,(i).求证:q是整数,且数列中的任意一项都是数列中的项.
(1)如果,,成等差数列,求实数的值;
(2)已知=1.①求证:数列是等差数列;②已知数列中,.数列是公比为q的等比数列,满足,,(i).求证:q是整数,且数列中的任意一项都是数列中的项.
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解答题-问答题
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困难
(0.15)
【推荐1】设,满足递推关系,初值条件.令,即,令此方程的两个根为、,若,则有(其中),若,则有(其中).
证明:如果数列满足下列条件:已知的值,且对于,都有(其中、、、均为常数,且,,),那么,可作特征方程.
(1)当特征方程有两个相同的根(称作特征根)时,若,则,;若,则,其中,.
特别地,当存在使时,无穷数列不存在;
(2)当特征方程有两个相异的根、(称作特征根)时,则,,其中,(其中).
证明:如果数列满足下列条件:已知的值,且对于,都有(其中、、、均为常数,且,,),那么,可作特征方程.
(1)当特征方程有两个相同的根(称作特征根)时,若,则,;若,则,其中,.
特别地,当存在使时,无穷数列不存在;
(2)当特征方程有两个相异的根、(称作特征根)时,则,,其中,(其中).
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【推荐2】对给定的在定义域内连续且存在导函数的函数,若对在定义域内的给定常数,存在数列满足在的定义域内且,且对在区间的图象上有且仅有在一个点处的切线平行于和的连线,则称数列为函数的“关联切线伴随数列”.
(1)若函数,证明:都存在“关联切线伴随数列”;
(2)若函数,数列为函数的“1关联切线伴随数列”,且,求的通项公式;
(3)若函数,数列为函数的“关联切线伴随数列”,记数列的前项和为,证明:当时,.
(1)若函数,证明:都存在“关联切线伴随数列”;
(2)若函数,数列为函数的“1关联切线伴随数列”,且,求的通项公式;
(3)若函数,数列为函数的“关联切线伴随数列”,记数列的前项和为,证明:当时,.
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解答题-应用题
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困难
(0.15)
名校
解题方法
【推荐3】2021年9月15日至17日,世界新能源汽车大会在海南海口召开,大会着眼于全球汽车产业的转型升级和生态环境的持续改善.某汽车公司顺应时代潮流,最新研发了一款新能源汽车.为了推广该款新能源汽车,购买新能源汽车将会得到相应的补贴,标准如下:
(1)本月在A市购买新能源汽车的4000人中随机抽取300人,统计了他们购买的新能源汽车的价格并制成了如下表格(这4000人购买的新能源汽车价格都在60-100万元之间)利用样本估计总体,试估计本月A市的补贴预算(单位:亿元,保留两位小数)
(2)该公司对这款新能源汽车的单次最大续航里程进行了测试,得到了单次最大续航里程与售价的关系如下表.根据数据可知与具有线性相关关系,请建立与的回归方程(系数精确到).周小姐想要购买一辆单次最大续航为的该款新能源汽车,请根据回归方程计算周小姐至少要准备多少钱(单位:万元,保留两位小数)
(3)某汽车销售公司为促进消费者购买该新款新能源汽车,现面向意向客户推出“玩游戏,送大奖”活动,活动规则如下:箱子里有2个红球,1个黄球,1个蓝球,客户从箱子里随机取出一个球(每一个球被取出的概率相同),确定颜色后放回,连续抽到两个红球时游戏结束,取球次数越少奖励越好,记取次球游戏结束的概率为.周小姐参与了此次活动,请求周小姐取球次数的数学期望.
购买的新能源汽车价格(万元) | ||||
补贴(万元) | 5 | 7 | 10 | 15 |
(2)该公司对这款新能源汽车的单次最大续航里程进行了测试,得到了单次最大续航里程与售价的关系如下表.根据数据可知与具有线性相关关系,请建立与的回归方程(系数精确到).周小姐想要购买一辆单次最大续航为的该款新能源汽车,请根据回归方程计算周小姐至少要准备多少钱(单位:万元,保留两位小数)
售价x(万元) | 66 | 70 | 73 | 81 | 90 |
单次最大续航里程 | 200 | 230 | 260 | 325 | 405 |
(3)某汽车销售公司为促进消费者购买该新款新能源汽车,现面向意向客户推出“玩游戏,送大奖”活动,活动规则如下:箱子里有2个红球,1个黄球,1个蓝球,客户从箱子里随机取出一个球(每一个球被取出的概率相同),确定颜色后放回,连续抽到两个红球时游戏结束,取球次数越少奖励越好,记取次球游戏结束的概率为.周小姐参与了此次活动,请求周小姐取球次数的数学期望.
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