【推荐1】在平面直角坐标系中，已知点，点满足，记点的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)点，点为上的两个动点，且满足.过作直线交于点.若，求直线的斜率.

【推荐2】平面直角坐标系中，O为坐标原点，，动点M满足成等比数列.
(1)设动点M的轨迹为曲线E，求曲线E的标准方程；
(2)若动直线与曲线E相交于不同两点，直线与曲线E的另一交点为P，证明：直线过定点.

【推荐3】已知是双曲线的左右顶点，动点是双曲线上异于的任意一点，且满足直线与的斜率之积为3.

(1)求双曲线的方程;
(2)已知点为双曲线的右焦点，过点作直线交双曲线右支于A，B两点，过点且与直线垂直的直线交直线于点P，O为坐标原点，直线OP交双曲线于M，N两点.设直线的斜率分别为，且.
（i）证明:双曲线在点处的切线经过点；
（ii）记，求的值.

【推荐1】在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为，实轴长为4.

(1)求C的方程；
(2)如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点且垂直于y轴（P位于原点与上顶点之间），过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若O，A，N，M四点共圆，求点P的坐标.

【推荐3】对于双曲线：（），若点满足，则称在的外部；若点满足，则称在的内部.
（1）若直线上点都在的外部，求的取值范围；
（2）若过点，圆（）在内部及上的点构成的圆弧长等于该圆周长的一半，求、满足的关系式及的取值范围；
（3）若曲线（）上的点都在的外部，求的取值范围.

【推荐1】在平面内，动点M（x，y）与定点F（2，0）的距离和它到定直线的距离比是常数2.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)若直线与动点的轨迹交于P，Q两点，且（为坐标原点），求的最小值.