【推荐1】我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕y轴旋转一周，得到一个旋转体，如用与x轴相距为，且垂直于y轴的平面，截这个旋转体，则截面图形的面积为______；这个旋转体的体积为______．

【推荐2】如图所示，是边长为的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得，，，四个点重合于图中的点，正好形成一个底面是正方形的长方体包装盒，若要包装盒容积最大，则的长为________.

【推荐3】如图，在正方体中，M、N分别是棱、的中点，P是棱上靠近的四等分点，过M、N、P三点的平面交棱于Q，记，则________．若平面将正方体截成两部分体积分别为、，则_________．

【推荐1】金刚石是碳原子的一种结构晶体，属于面心立方晶胞（晶胞是构成晶体的最基本的几何单元），即碳原子处在立方体的个顶点，个面的中心，此外在立方体的对角线的处也有个碳原子，如图所示（绿色球），碳原子都以共价键结合，原子排列的基本规律是每一个碳原子的周围都有个按照正四面体分布的碳原子．设金刚石晶胞的棱长为，则正四面体的棱长为__________；正四面体的外接球的体积是__________．

【推荐2】已知直三棱柱的各条棱长均为3，以A为球心，1为半径的球面来截直三棱柱，所截得的几何体的体积为________；以A为球心，3为半径的球面与直三棱柱各侧面的交线长之和为__________．

【推荐3】已知四棱锥的五个顶点在球的球面上，平面与平面都与底面垂直，且，，则球的体积为________．

【推荐1】四面体的顶点、、、在同个球面上，平面，，，，，则该四面体的外接球的表面积为___________.

【推荐2】若三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，平面ABC，，，且三棱锥的体积为，则球O的体积为________.

【推荐3】已知点在同一个球的上，，则过三点的截面圆的面积为__________；若四面体体积的最大值为4，则这个球的表面积为__________.