【推荐1】已知数列中，，且点在直线上.
（1）函数 且，求函数的最小值；
（2）设，表示数列的前项和，试问：是否存在关于的整式，使得对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，请说明理由.

【推荐2】已知为数列的前n项和，，
（1）求的通项公式；
（2）若数列，求数列的前n项和；
（3）若数列满足（为非零常数），确定的取值范围，使时，都有．

【推荐3】已知等比数列的首项为，前项和为，且，，成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数，使得恒成立？如果存在，写出最小的，如果不存在请说明理由.

【推荐1】已知数列的奇数项是首项为1，公差为d的等差数列，偶数项是首项为2，公比为的等比数列.数列的前项和为，且满足，·
（1）求数列的通项公式；
（2）设实数，若对于任意，都有求的最小值.

【推荐2】已知是等差数列，是公比为正数的等比数列，且，，，．
(1)求数列{，的通项公式；
(2)设，
（ⅰ）求；
（ⅱ）求．

【推荐3】已知数列前项和为， ，且满足，（）.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.

【推荐1】设非常数数列满足，，其中常数，均为非零实数，且.
（1）证明：数列为等差数列的充要条件是；
（2）已知，，，，求证：数列与数列中没有相同数值的项.

【推荐2】对于自然数数组，如下定义该数组的极差：三个数的最大值与最小值的差.如果的极差，可实施如下操作：若中最大的数唯一，则把最大数减2，其余两个数各增加1；若中最大的数有两个，则把最大数各减1，第三个数加2，此为一次操作，操作结果记为，其级差为.若，则继续对实施操作，…，实施次操作后的结果记为，其极差记为.例如：，.
（1）若，求和的值；
（2）已知的极差为且，若时，恒有，求的所有可能取值；
（3）若是以4为公比的正整数等比数列中的任意三项，求证：存在满足.

【推荐3】对于数列，记，其中表示这个数中最大的数，并称数列是的“控制数列”，如数列的“控制数列”是.
（1）若各项均为正整数的数列的“控制数列”为，写出所有的；
（2）设.
（i）当时，证明：存在正整数，使得是等差数列；
（ii）当时，求的值(结果可含).

【推荐1】在等差数列和等比数列中，，，是数列前n项和.
(1)求；
(2)若，求证：“数列的所有项都在数列中”的充要条件为“b为正偶数”；
(3)是否存在正实数b，使得数列中至少有三项在数列中，但中的项不都在数列中？若存在，求出一个可能的b的值；若不存在，请说明理由.

【推荐3】已知数列满足：，，且．记
集合．
（Ⅰ）若，写出集合的所有元素；
（Ⅱ）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；
（Ⅲ）求集合的元素个数的最大值．