【推荐1】已知双曲线与椭圆有相同焦点，且经过点(4,6)．
(1)求双曲线方程；
(2)若双曲线的左，右焦点分别是F₁，F₂，试问在双曲线上是否存在点P，使得|PF₁|＝5|PF₂|.请说明理由.

【推荐2】已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，P是E的右支上一点，且，的面积为3．
(1)求E的方程；
(2)若E的左、右顶点分别为A，B，过点的直线l与E的右支交于M，N两点，直线AM和BN的斜率分别即为和，求的最小值．

【推荐3】中心在原点的双曲线的焦点在x轴上，且焦距为4，请从下面3个条件中选择1个补全条件，并完成后面问题：
①该曲线经过点；
②该曲线的渐近线与圆相切；
③点在该双曲线上，，为该双曲线的左、右焦点，当点的纵坐标为时，以，为直径的圆经过点．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)过定点能否作直线，使与此双曲线相交于两点，且是弦的中点?若存在，求出的方程；若不存在，说明理由．

【推荐1】已知双曲线的离心率为，且双曲线上的点到右焦点的距离与到直线 的距离之比为.
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求的值.

【推荐2】已知双曲线上有一点，在点处的切线为．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设椭圆．过点作椭圆的两条切线，切点为直线分别交双曲线于点．证明：直线过定点，并求出定点坐标．

【推荐3】已知双曲线C：过点P(1， 1)作直线l，使l与C有且仅有一个公共点，求直线l的方程．

【推荐1】（1）已知双曲线的渐近线方程为，且双曲线经过点.求双曲线方程.
（2）若直线与抛物线交于，两点，求线段的中点坐标；

【推荐2】已知双曲线的左、右焦点分别为，，动点M满足．
(1)求动点M的轨迹方程；
(2)若动点M在双曲线C上，设双曲线C的左支上有两个不同的点P，Q，点，且，直线NQ与双曲线C交于另一点B．证明：动直线PB经过定点．

【推荐3】已知双曲线经过点，一条渐近线的倾斜角为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若斜率为的直线与双曲线交于两个不同的点，，线段的中垂线与轴交于点，求实数的取值范围.