【推荐1】已知椭圆的左焦点为，过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且.
(1)求椭圆的离心率；
(2)椭圆的上顶点为，不过的直线与椭圆交于，两点，线段的中点为，若，试问直线是否经过定点？若经过定点，请求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

【推荐2】已知为椭圆上两点，过点且斜率为的两条直线与椭圆的交点分别为.
（Ⅰ）求椭圆的方程及离心率；
（Ⅱ）若四边形为平行四边形，求的值．

【推荐3】设、分别是椭圆的左、右焦点，若_____，
请在以下两个条件中任选一个补充在横线上并作答．
①四点、、、中，恰有三点在椭圆上；
②椭圆经过点，与轴垂直，且．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设是椭圆的上顶点，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于、两点，过点作线段的垂线，垂足为，判断在轴上是否存在定点，使得的长度为定值？并证明你的结论.

【推荐1】已知椭圆的离心率为，右焦点为，点在椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线（不与轴重合）交椭圆于点，，直线，分别与直线交于点，．求证：以线段为直径的圆被轴截得的弦长为定值．

【推荐2】设椭圆的左、右焦点分别为，．已知的离心率为，过焦点的直线l交C于A，B两点，当焦点到直线l的距离最大时，恰有．
（1）求C的方程；
（2）过点且斜率为的直线交C于E，F两点，E在第一象限，点P在C上．若线段EF的中点为M，线段EM的中点为N，求的取值范围．

【推荐3】已知椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为，的面积为1，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）点在椭圆上且位于第二象限，过点作直线，过点作直线，若直线的交点恰好也在椭圆上，求点的坐标.

【推荐1】已知椭圆的右焦点为，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线与椭圆有且只有一个交点，且与直线交于点，设，且满足恒成立，求的值．

【推荐2】如图，已知分别为椭圆的左，右顶点，为椭圆M上异于点的动点，若，且面积的最大值为2．

(1)求椭圆M的标准方程；
(2)已知直线与椭圆M相切于点，且与直线和分别相交于两点，记四边形的对角线相交于点N．问：是否存在两个定点，使得为定值？若存在，求的坐标；若不存在，说明理由．

【推荐3】已知椭圆（）的左、右焦点分别为，，离心率为，M为C上的动点，且面积的最大值为1．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若O为坐标原点，直线l交C于P，Q两点，直线OP，OQ的斜率分别为，，且，求的面积．

【推荐1】已知在平面直角坐标系中，动点与两定点，连线的斜率之积为，记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）已知点，过原点且斜率为的直线与曲线交于两点（点在第一象限），求四边形面积的最大值.

【推荐2】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，且直线是双曲线的一条渐近线.直线与椭圆交于C，D两点，且的周长最大值为8.椭圆的左、右顶点分别为A，B，点P，Q为椭圆上异于A，B的两动点，直线与轴相交于点，记直线的斜率为，直线的斜率为.
(1)求值.
(2)若，设和的面积分别为，求的最大值.

【推荐3】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线与椭圆相交于两点，求面积的最大值．