【推荐1】已知椭圆：（）短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，且直线与圆相切.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线，都经过椭圆的左顶点，与椭圆分别交于，两点，且.求证：直线过定点，并求出该定点坐标.

【推荐2】如图，椭圆的左焦点为，右焦点为，过的直线交椭圆于，两点，△的周长为8，且△面积最大时，△为正三角形．

(1)求椭圆的方程；
(2)设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点．试探究：①以为直径的圆与轴的位置关系？
②在坐标平面内是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出的坐标；若不存在，说明理由．

【推荐3】已知椭圆E：的离心率，并且经过定点（0,1）.
(1)求椭圆 E 的方程；
(2)问是否存在直线，使直线与椭圆交于 A，B 两点，满足，若存在，求 m 值，若不存在说明理由．

【推荐1】已知椭圆：的短轴长为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)点为直线上的动点，过点的动直线与椭圆相交于不同的，两点，在线段上取点，满足，证明：点的轨迹过定点.

【推荐2】已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上任意一点，的最小值为，且该椭圆的离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）若是椭圆上不同的两点，且，若，试问直线是否经过一个定点？若经过定点，求出该定点的坐标；若不经过定点，请说明理由.

【推荐3】如图为椭圆C：的左、右焦点，D，E是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率，的面积为.若点在椭圆C上，则点称为点M的一个“椭圆”，直线与椭圆交于A，B两点，A，B两点的“椭圆”分别为P，Q.

（1）求椭圆C的标准方程；
（2）问是否存在过左焦点的直线，使得以PQ为直径的圆经过坐标原点？若存在，求出该直线的方程；若不存在，请说明理由.