【推荐1】已知直线，圆.
（1）试证明：不论为何实数，直线和圆总有两个交点；
（2）求直线被圆截得的最短弦长.

【推荐2】已知直线与圆C：相交，截得的弦长为.
（1）求圆C的方程；
（2）过原点O作圆C的两条切线，与函数的图象相交于M、N两点（异于原点），证明：直线与圆C相切；
（3）若函数图象上任意三个不同的点P、Q、R，且满足直线和都与圆C相切，判断线与圆C的位置关系，并加以证明.

【推荐3】在海上进行工程建设时，一般需要在工地某处设置警戒水域；现有一海上作业工地记为点，在一个特定时段内，以点为中心的1海里以内海域被设为警戒水域，点正北海里处有一个雷达观测站，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点北偏东且与点相距10海里的位置，经过12分钟又测得该船已行驶到点北偏东且与点相距海里的位置.
（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；
（2）若该船不改变航行方向继续行驶.试判断它是否会进入警戒水域（点与船的距离小于1海里即为进入警戒水域），并说明理由.

【推荐1】已知点，，直线，的斜率乘积为，点的轨迹为曲线.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）设斜率为的直线交轴于，交曲线于，两点，是否存在使得为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【推荐2】如图，已知圆的方程为，圆的方程为，若动圆与圆内切，与圆外切．

(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)过直线上的点作圆的两条切线，设切点分别是，，若直线与轨迹交于，两点，求的取值范围．

【推荐3】已知两点，，动点P在y轴上的摄影是H，且，
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设直线，的两个斜率存在，分别记为，，若，求点P的坐标；
（3）若经过点的直线l与动点P的轨迹有两个交点为T、Q，当时，求直线l的方程.

【推荐1】已知椭圆C的中心在原点，对称轴为坐标轴，且过点和
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)求直线和椭圆C的公共点的坐标．

【推荐2】如图，设椭圆的中心在原点，焦点在轴上，、为椭圆长轴的两个端点，为椭圆的右焦点，已知椭圆的离心率为，且.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设是椭圆上不同于、的一个动点，直线，分别与直线相交于点，，求的最小值.

【推荐3】在平面直角坐标系xOy中，，两点的坐标分别是，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与轨迹相交于，两点，且.
①求直线的方程；
②求直线被轨迹截得的弦长.