【推荐1】已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)设函数的最大值为，若正数，满足，求的最小值.

【推荐2】已知函数，集合．若对任意，不等式恒成立，求a的取值范围．

【推荐3】某学校为了支持生物课程基地研究植物的生长规律，计划利用学校空地建造一间室内面积为的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x（单位：m），三块种植植物的矩形区域的总面积为S（单位：）．

(1)求S关于x的函数关系式；
(2)求S的最大值，并求出此时x的值．

【推荐1】已知椭圆的一个长轴顶点到另一个短轴顶点的距离为，且椭圆的短轴长与焦距长之和为4．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点的直线l与椭圆C相交于M，N两点（异于椭圆长轴顶点），求（O为坐标原点）面积的最大值，并求此时直线l的方程．

【推荐2】设O为坐标原点，动点在椭圆（，）上，过的直线交椭圆于两点，为椭圆的左焦点.
(1)若的面积的最大值为1，求的值；
(2)若直线的斜率乘积等于，求椭圆的离心率.

【推荐3】已知椭圆的离心率为，直线被椭圆C截得的线段长为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l是圆的任意一条不垂直于坐标轴的切线，l与椭圆C交于A，B两点，若以AB为直径的圆恒过原点，求：
（i）圆O的方程；
（ii）的最大值.

【推荐1】已知椭圆的焦点在坐标轴上，对称中心为坐标原点，且过点和.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线交椭圆于两点，坐标原点到直线的距离为，求证：是定值.

【推荐2】已知点是椭圆上的一点，椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，斜率为直线交椭圆于，两点，且，，三点互不重合.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，，分别为直线，的斜率，求证：为定值.

【推荐3】如图，已知椭圆：的左右焦点分别是，直线与椭圆交于两点，当时，恰为椭圆的上顶点，此时的面积为6.

（1）求椭圆的方程；
（2）设椭圆的左顶点为，直线与直线分别相交于点，问当变化时，以线段为直径的圆被轴截得的弦长是否为定值？若是，求出这个定值，若不是，说明理由.