【推荐1】已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程.
（2）设动直线过椭圆的右焦点，且与椭圆交于，两点.在轴上是否存在定点，使得恒成立.若存在，求点的坐标.若不存在，请说明理由.

【推荐2】已知椭圆的短轴长为2，且离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）设与圆O：相切的直线l交椭圆C于A，B两点（O为坐标原点），求面积的最大值.

【推荐3】已知椭圆：的右焦点与右准线：的距离为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线：与椭圆相交于，两点，线段的垂直平分线与直线及轴和轴分别相交于点，，，直线与右准线相交于点．记，的面积分别为，，求的值．

【推荐1】已知椭圆的左、右顶点分别为，，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)设点为线段上的动点，过作线段的垂线交椭圆于不同的两点和，为线段上一点（异于端点）.当时，求的值.

【推荐2】已知椭圆的短轴长为，是上一点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点，是轴上不同的两点，直线，分别交椭圆于另一点，，若，证明：椭圆在点处的切线与的外接圆相切．

【推荐3】已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，离心率为，P是椭圆C上的一个动点，且面积的最大值为．

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点作两条直线和，与C交于点A，B，与C交于点C，D，线段AB，CD的中点分别为P，Q，设直线和的斜率分别为，，
①若，求证：直线OP与直线OQ的斜率乘积为定值；
②若，过点作，垂足为H．试问：是否存在定点T，使得线段TH的长度为定值．