【推荐1】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，点为线段的中点，过点且斜率为的直线交于两点，的面积最大值为．
(1)求的方程；
(2)设直线分别交于点，直线的斜率为，是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】（本小题满分14分）
已知椭圆C：的离心率为，是椭圆的左顶点．是椭圆C上第一象限的点，，延长交椭圆于点，过点作的平行线交椭圆于点．

(1) 求椭圆C的方程；
(2)当点为椭圆的下顶点时，求点的坐标；
(3)若，求三角形的面积．

【推荐3】已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，且的周长最大值为8．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知点是椭圆上一动点（不与端点重合），分别为椭圆的左右顶点，直线交轴于点，若与的面积相等，求直线的方程．

【推荐1】已知双曲线的右焦点为，，，成等差数列，过的直线交双曲线于､两点，若双曲线过点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线的左顶点作直线､，分别与直线交于､两点，是否存在实数，使得以为直径的圆恒过，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【推荐2】法国数学家加斯帕尔·蒙日创立的《画法几何学》对世界各国科学技术的发展影响深远．在双曲线-=1（a>b>0）中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆．已知双曲线C：-=1（a>b>0）的实轴长为6，其蒙日圆方程为x²+y²=1．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设D为双曲线C的左顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以EF为直径的圆经过点D，且DG⊥EF于G，证明：存在定点H，使|GH|为定值．

【推荐3】已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)设D为双曲线C的右顶点，直线l与双曲线C交于不同于D的E，F两点，若以为直径的圆经过点D，且于点G，证明：存在定点H，使为定值．

【推荐1】已知椭圆的一个顶点在圆上，对任意实数，上存在两点关于直线对称，直线与交于点，与交于点在之间，且时．
(1)求的标准方程．
(2)是否存在与不重合的定点，使得成立，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】设圆的圆心为A，直线l过点且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作的平行线交于点E.
（1）证明：为定值，并求出点E的轨迹方程；
（2）若M，N是点E的轨迹上的动点，且直线过点，问在y轴上是否存在定点Q，使得？O为坐标原点，若存在，请求出定点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐3】已知椭圆：的左、右焦点分别为、，且也是抛物线：的焦点，为椭圆与抛物线在第一象限的交点，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线与椭圆交于，两点，问是否在轴上存在一点，使得当变动时，总有？说明理由．