【推荐1】等差数列的前项和为，若，则满足的正整数______.

【推荐2】等差数列、的前项和分别为、，若，则__________.

【推荐3】若是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大自然数是___

【推荐1】若，则通项公式________.

【推荐2】设集合，把集合中的元素按从小到大依次排列，构成数列，求数列的前项和___．

【推荐3】在一次珠宝展览会上，某商家展出一套珠宝首饰，第一件首饰是颗珠宝，第二件首饰是由颗珠宝构成如图所示的正六边形，第三件首饰是由颗珠宝构成如图所示的正六边形，第四件首饰是由颗珠宝构成如图所示的正六边形，第五件首饰是由颗珠宝构成如图所示的正六边形，以后每件首饰都在前一件上，按照这种规律增加一定数量的珠宝，使它构成更大的正六边形，依此推断第件首饰上应有________颗珠宝；则第件首饰所用珠宝总数为________颗.（结果用表示）

【推荐1】对于数列，若任意，都有（为常数）成立，则称数列具有性质．
（1）若数列的通项公式为，且具有性质，则的最大值为______；
（2）若数列的通项公式为，且具有性质，则实数的取值范围是______．

【推荐2】南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第19项为 ______．

【推荐3】已知数列：具有性质：对任意，与两数中至少有一个是该数列中的一项.现给出以下四个命题：
①数列0，1，3具有性质；
②数列0，2，4，6具有性质；
③若数列具有性质，则；
④若数列具有性质，则.
其中所有正确命题的序号是________.