【推荐1】已知函数，(为自然对数的底数).
(1)讨论的单调性；
(2)求的极值点；
(3)设，为两个正数，若实数a，b使成立，求使成立的最小正整数的值.

【推荐2】已知函数．
(1)当时，讨论函数在区间上的单调性；
(2)当时，证明：．

【推荐3】某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是不是阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方式：
方式一：逐份检验，则需要检验次．
方式二：混合检验，将其中（且）份血液样本分别取样混合在一起检验．若检验结果为阴性，这份血液样本全为阴性，因而这份血液样本只要检验一次就够了；若检验结果为阳性，为了明确这份血液样本究竟哪几份为阳性，就要对这份血液样本再逐份检验，此时这份血液样本的检验次数总共为．
假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为．现取其中份血液样本，记采用逐份检验方式，需要检验的总次数为，采用混合检验方式，需要检验的总次数为．
（1）若，试求关于的函数关系式；
（2）若与干扰素计量相关，其中是不同的正数，且，都有成立．
①求证：数列是等比数列；
②当时，采用混合检验方式可以使样本需要检验的总次数的期望值比采用逐份检验方式的检验总次数的期望值更少，求的最大值．
参考数据：，．

【推荐1】已知抛物线的焦点为，是抛物线上一点，且满足．
（1）求抛物线的方程；
（2）已知斜率为2的直线与抛物线交于，两点，若，，成等差数列，求该数列的公差．

【推荐1】已知函数，．
(1)若是函数唯一的极小值点，求实数a的取值范围；
(2)证明：．

【推荐2】已知函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若函数在区间内有两个极值点、，求实数的取值范围；
（3）在（1）的基础上，求证：.

【推荐3】已知函数，．
（1）设，若在定义域内有唯一极值点，求的取值范围；
（2）若，证明：当时，．