【推荐1】已知函数，若数列满足（），且是递增数列，则实数的取值范围是___________．

【推荐2】已知，若数列是递增数列，则实数的取值范围为_________．

【推荐3】已知数列满足，则下列结论正确的有_____________．
①是递增数列        ②     
③               ④

【推荐1】设数列满足，且，则______，数列的通项______．

【推荐2】任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环图1-4-2-1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”．例如：正整数，根据上述运算法则得出6→3→10→5→16→8→4→2→1，共经过8个步骤变成1（简称为8步“雹程”）．“冰雹猜想”可表示为数列（为正整数），．若，则的所有可能取值之和为______．

【推荐3】斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，，记，则下列结论正确的是_______________（写正确结论的序号即可）.
①；        
②；   
③；        
④.

【推荐1】已知数列满足：，，若，则数列的前50项和为________.

【推荐2】数列满足，若，则数列的前项的和是__________．

【推荐3】设，，，则__________．

【推荐1】习近平总书记在党的二十大报告中提出：坚持以人民为中心发展教育，加快建设高质量教育体系，发展素质教育，促进教育公平，加快义务教育优质均衡发展和城乡一体化.某师范大学学生会为贯彻党的二十大精神，成立“送教下乡志愿者服务社”，分期分批派遣大四学生赴乡村支教.原计划第一批派遣20名学生，以后每批都比上一批增加5人.由于志愿者人数暴涨，服务社临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与之间插入个3，使它们和原数列的项构成一个新的数列.按新数列的各项依次派遣支教学生.记为派遣70批学生后支教学生的总数，则的值为__________.

【推荐2】在数列中，若对任意的，都有（为常数），则称数列为比等差数列，称为比公差．现给出以下命题：
①等比数列一定是比等数列，等差数列不一定是比等差数列；
②若数列满足，则数列是比等差数列，且比公差；
③若数列满足，，，则该数列不是比等差数列；
④若是等差数列，是等比数列，则数列是比等差数列．
其中所有真命题的序号是__________．