【推荐1】在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，且点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若点都在椭圆上，且的中点在线段（不包括端点）上.
①求直线的斜率；
②求面积的最大值.

【推荐2】已知点为中心在坐标原点的椭圆C的焦点，且椭圆过点.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点F作直线与椭圆C交于A，B两点，设，若，点，求的取值范围.

【推荐3】已知椭圆的右焦点与点连线的斜率为2，且点在椭圆上(其中为的离心率)．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)已知点，过点的直线与交于A，B两点，直线DA，DB分别交于M，N两点，试问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【推荐1】已知椭圆（）的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于，两点，当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为．
(1)求椭圆的方程；
(2)当时，求直线的方程；
(3)记椭圆的右顶点为，点（）在椭圆上，直线交轴于点，点与点关于轴对称，直线交轴于点．问：轴上是否存在点，使得（为坐标原点）？，若存在，求点坐标；若不存在，说明理由．

【推荐2】已知椭圆C：的离心率为，椭圆C的下顶点和上顶点分别为，，且，过点且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点．

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)当时，求△OMN的面积；
(3)求证：直线与直线的交点T恒在一条定直线上．

【推荐3】已知椭圆的离心率是，点在上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过直线上一点作椭圆的切线，切点为，，证明：直线过定点．

【推荐1】已知A为椭圆上的一个动点，弦AB、AC分别过焦点F₁、F₂，当AC垂直于x轴时，恰好有.

（Ⅰ）求椭圆离心率；
（Ⅱ）设,试判断是否为定值？若是定值，求出该定值并证明；若不是定值，请说明理由.

【推荐2】已知焦点在轴上的椭圆的焦距为，点在椭圆上.过坐标原点的直线交于两点，其中点在第一象限，轴，垂足为，连结并延长交于点.
   
(1)求椭圆的标准方程；
(2)证明：是直角三角形.

【推荐3】设分别是椭圆的左右焦点，过左焦点作直线与椭圆交于不同的两点、．
（Ⅰ）若,求的长；
（Ⅱ）在轴上是否存在一点，使得为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由