【推荐1】已知椭圆的左焦点为，椭圆上动点到点的最远距离和最近距离分别为和.
（1）求椭圆的方程；
（2）设分别为椭圆的左、右顶点，过点且斜率为的直线与椭圆交于、两点，若，为坐标原点，求的面积.

【推荐2】已知，分别是长轴长为4的椭圆：（）的左、右顶点，，是椭圆上关于轴对称的两点，且直线，的斜率，满足.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若是线段上异于，，的动点（为坐标原点），过的动直线，的斜率满足，设与椭圆交于，两点，与圆：交于，两点，问是否存在实数使得？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由.

【推荐3】已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，上顶点为，直线（为椭圆的半焦距）与轴交于点，且的面积为（为坐标原点）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若为的右焦点，经过的直线与交于，两点，且直线，分别交于点，，证明：点是线段的中点．

【推荐1】已知椭圆的上､下焦点分别为，，左､右顶点分别为，，且四边形是面积为8的正方形.
(1)求C的标准方程.
(2)M，N为C上且在y轴右侧的两点，，与的交点为P，试问是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请说明理由.

【推荐2】已知椭圆,点P为椭圆C上非顶点的动点,点,分别为椭圆C的左、右顶点,过,分别作，，直线,相交于点G,连接OG（O为坐标原点）,线段OG与椭圆C交于点Q.若直线OP,OQ的斜率分别为,.
(1)求的值;
(2)求面积的最大值.

【推荐3】已知椭圆与双曲线有共同焦点，且离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为椭圆的下顶点，为椭圆上异于的不同两点，且直线与的斜率之积为.
（ⅰ）试问所在直线是否过定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由；
（ⅱ）若为椭圆上异于的一点，且，求的面积的最小值.

【推荐1】已知椭圆E:与y轴的正半轴相交于点M,点F₁,F₂为椭圆的焦点,且是边长为2的等边三角形,若直线l:y=kx+2与椭圆E交于不同的两点A,B.
（1）直线MA,MB的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由；
（2）求的面积的最大值.

【推荐2】已知椭圆的右焦点为，直线被称作为椭圆的一条准线，点在椭圆上(异于椭圆左、右顶点)，过点作直线与椭圆相切，且与直线相交于点.
（1）求证：.
（2）若点在轴的上方，当的面积最小时，求直线的斜率.
附：多项式因式分解公式：

【推荐3】已知椭圆过点，且离心率为.过点的直线交于两点（异于点）.直线分别交直线于两点.

(1)求证：直线与直线的斜率之积为定值；
(2)求面积的最小值.

【推荐1】已知动圆经过定点，且与圆：内切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程；
(2)设轨迹与轴从左到右的交点为，，点为轨迹上异于，的动点，设交直线于点，连接交轨迹于点，直线，的斜率分别为，.
①求证：为定值；
②证明：直线经过轴上的定点，并求出该定点的坐标.

【推荐2】已知椭圆的左顶点、上顶点和右焦点分别为，且的面积为，椭圆上的动点到的最小距离是．

(1)求椭圆的方程；
(2)过椭圆的左顶点作两条互相垂直的直线交椭圆于不同的两点（异于点）.
①证明：动直线恒过轴上一定点；
②设线段的中点为，坐标原点为，求的面积的最大值.

【推荐3】已知焦距为2的椭圆：的右顶点为，直线与椭圆交于、两点（在的左边），在轴上的射影为，且四边形是平行四边形．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率为的直线与椭圆交于两个不同的点，．
（i）若直线过原点且与坐标轴不重合，是直线上一点，且是以为直角顶点的等腰直角三角形，求的值；
（ii）若是椭圆的左顶点，是直线上一点，且，点是轴上异于点的点，且以为直径的圆恒过直线和的交点，求证：点是定点．