【推荐1】如图，椭圆经过点，且离心率为

(1)求椭圆的方程：
(2)经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同两点、（均异于点），证明：直线与的斜率之和为定值，并求出此值.

【推荐2】已知椭圆：的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线：与椭圆有且只有一个公共点T．
（Ⅰ）求椭圆的方程及点的坐标；
（Ⅱ）设是坐标原点，直线平行于，与椭圆交于不同的两点、，且与直线交于点，证明：存在常数，使得，并求的值．

【推荐3】若椭圆的焦点在x轴上，离心率为，依次连接的四个顶点所得四边形的面积为40.
（1）试求的标准方程；
（2）若曲线M上任意一点到的右焦点的距离与它到直线的距离相等，直线经过的下顶点和右顶点，，直线与曲线M相交于点P、Q（点P在第一象限内，点Q在第四象限内），设的下顶点是B，上顶点是D，且，求直线的方程.

【推荐1】如图，为椭圆的两个顶点，为椭圆的两个焦点．

(1)求椭圆的方程及离心率；
(2)过线段上异于O，A的任一点K作的垂线，交椭圆于P，两点，直线与交于点M．求证：点M在双曲线上．

【推荐2】已知椭圆的左、右焦点分别为，为该椭圆上任意一点，且的最大值为.
（I）求椭圆的离心率；
（II）已知椭圆的上顶点为，动直线与椭圆交于不同的两点，且，过作于点，求动点的轨迹方程.

【推荐1】已知椭圆：的离心率为，半焦距为，过点作轴、轴的垂线，垂足分别点，，且四边形的面积为2.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知经过点的直线与椭圆交于，两点，设直线与直线的倾斜角分别为，，且，求的取值范围.

【推荐3】某奥运会主体育场的简化钢结构俯视图如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，我们称这两个椭圆相似．

(1)已知椭圆，写出与椭圆相似且焦点在轴上、短半轴长为的椭圆的标准方程；若在椭圆上存在两点、关于直线对称，求实数的取值范围；
(2)从外层椭圆顶点A、B向内层椭圆引切线AC、BD，设内层椭圆方程为 ，AC与BD的斜率之积为，求椭圆的离心率．