【推荐1】一个圆柱形圆木的底面半径为，长为，将此圆木沿轴所在的平面剖成两部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中为圆心，，在半圆上），设，木梁的体积为（单位：），表面积为（单位：）．

（1）求关于的函数表达式；
（2）求的值，使体积最大；

【推荐2】为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为200m，圆心角为的扇形地上建造市民广场，规划设计如图：内接梯形区域为运动休闲区，其中A，B分别在半径，上，C，D在圆弧上，

；上，；区域为文化展区，长为，其余空地为绿化区域，且长不得超过200m.
(1)试确定A，B的位置，使的周长最大？
(2)当的周长最长时，设，试将运动休闲区的面积S表示为的函数，并求出S的最大值.

【推荐3】国家质量监督检验检疫局于2004年5月31日发布了新的《车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验》国家标准，新标准规定，车辆驾驶人血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升、小于80毫克/百毫升的行为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，经过反复试验，喝一瓶啤酒后酒精在人体血液内的变化规律“散点图”如下：

该函数模型如下，
.
根据上述条件，回答以下问题：
（1）试计算喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？
（2）试计算喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间以整小时计）（参考数据：）

【推荐1】已知椭圆，点为椭圆上的点，长轴，，为椭圆的上，下顶点，直线交椭圆于，（点在点左侧，且与不重合）.

（1）求证：直线，的倾斜角互补；
（2）记的斜率为，的斜率为，求的取值范围.

【推荐3】已知双曲线的右顶点为，右焦点为，点到的一条渐近线的距离为，动直线与在第一象限内交于B，C两点，连接，.
(1)求E的方程；
(2)若，证明：动直线过定点.

【推荐1】已知，是椭圆的左､右焦点，P是的上顶点.F₁到直线PF₂的距离为.
(1)求的方程；
(2)设直线与x轴的交点为M，过M的两条直线l₁，l₂都不垂直于y轴，l₁与交于点A，B，l₂与交于点C，D，直线AC，BD与l分别交于E，G两点，求证：.

【推荐2】已知圆的方程为，直线与圆交于两点．
   
(1)若坐标原点到直线的距离为，且过点，求直线的方程；
(2)已知点，为的中点，若在轴上方，且满足，在圆上是否存在定点，使得的面积为定值？若存在，求出的面积；若不存在，说明理由．

【推荐3】最近国际局势波云诡谲，我国在某地区进行军事演练，如图，是三个军事基地，为一个军事要塞，在线段上．已知，，到，的距离分别为5km，.以点为坐标原点，直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，位于第一象限．
   
(1)求两个军事基地的长；
(2)若要塞正北方向距离要塞10km处有一处正在进行爆破试验，爆炸波生成时的半径为（参数为大于零的常数），爆炸波开始生成时，一飞行器以的速度自基地A开往基地，问参数控制在什么范围内时，爆炸波不会波及到飞行器的飞行．

【推荐1】在平面直角坐标系中，圆的方程为，且圆与轴交于两点，设直线的方程为.
（1）当直线与圆相切时，求直线的方程；
（2）已知直线与圆相交于两点.（i），求直线的方程；（ii）直线与直线相交于点，直线，直线，直线的斜率分别为，，，是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

【推荐2】已知定点，，动点P满足.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若A，B为（1）中轨迹C上两个不同的点，O为坐标原点.设直线，，的斜率分别为，，.当时，求k的取值范围.

【推荐3】已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴长为，直线与椭圆交于、两点.
（1）求椭圆的方程；   
（2）若直线与圆相切，探究是否为定值，如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由．