【推荐1】设圆过点，且在轴上截得的弦的长为4.
(1)求圆心的轨迹的方程；
(2)过点，作轨迹的两条互相垂直的弦，，设、的中点分别为、，试判断直线是否过定点？并说明理由.

【推荐2】某校兴趣小组在如图所示的矩形区域内举行机器人拦截挑战赛，在处按方向释放机器人甲，同时在处按某方向释放机器人乙，设机器人乙在处成功拦截机器人甲．若点在矩形区域内（包含边界），则挑战成功，否则挑战失败．已知米，为中点，机器人乙的速度是机器人甲的速度的2倍，比赛中两机器人均按匀速直线运动方式行进，记与的夹角为．

（1）若，足够长，则如何设置机器人乙的释放角度才能挑战成功？（结果精确到）；
（2）如何设计矩形区域的宽的长度，才能确保无论的值为多少，总可以通过设置机器人乙的释放角度使机器人乙在矩形区域内成功拦截机器人甲？

【推荐3】已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与相切.
（1）求与；
（2）设该椭圆的左、右焦点分别为和，直线过且与轴垂直，动直线与轴垂直，交于 点.求线段垂直平分线与的交点的轨迹方程，并说明曲线类型.

【推荐1】已知圆过点和.
(1)求圆的方程；
(2)已知动圆和圆外切且过点，求圆心的轨迹方程.

【推荐2】已知点、是平面上的两点，动点P满足
求点P的轨迹方程；
若，求点P的坐标．

【推荐3】（1）团队在点西侧、东侧20千米处设有、两站点，测量距离发现一点满足千米，可知在、为焦点的双曲线上，以点为原点，东侧为轴正半轴，北侧为轴正半轴，建立平面直角坐标系，在北偏东60°处，求双曲线标准方程和点坐标.
（2）团队又在南侧、北侧15千米处设有、两站点，测量距离发现千米，千米，求（精确到1米）和点位置（精确到1米，1°）

【推荐1】已知等轴双曲线的焦点在轴上，焦距为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)斜率为的直线过点，且直线与双曲线的两支分别交于、两点，
①求的取值范围；
②若是关于轴的对称点，证明直线过定点，并求出该定点坐标.

【推荐2】双曲线：的左右顶点分别为，，动直线垂直的实轴，且交于不同的两点，直线与直线的交点为.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）过点作的两条互相垂直的弦，，证明：过两弦，中点的直线恒过定点.

【推荐3】双曲线的右焦点为F，以F点为圆心，a为半径的圆与C的渐近线相切．
（1）求C的离心率；
（2）已知点，过F点的直线与C的右支交于M，N两点，证明：F点到的距离相等．

【推荐2】已知常数，向量，，经过定点且以为方向向量的直线与经过定点且以为方向向量的直线交于点，其中.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）若，过的直线交曲线于，两点，求的取值范围.

【推荐3】已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别为的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线恒有两个不同的交点A和B，且（其中为原点），求的取值范围.