【推荐1】已知等差数列的前项的和为，公差，若，，成等比数列，；数列满足：对于任意的，等式都成立.
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：数列是等比数列；
（3）若数列满足，试问是否存在正整数，（其中），使，，成等比数列.

【推荐2】已知等差数列的前n项和为，，，数列满足：，．
(1)证明：是等比数列；
(2)证明：；
(3)设数列满足：．证明：．

【推荐3】设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；
（Ⅲ）设数列的前项和为．已知正实数满足：对任意正整数恒成立，求的最小值．

【推荐1】随着国家政策对节能环保型小排量车的调整，两款1.1升排量的型车和型车的销量引起市场的关注．已知2010年1月型车的销量为a辆，通过分析预测，若以2010年1月为第1月，其后两年内型车每月的销量都将以1%的比率增长，而型车前个月的销售总量大致满足关系式：.
(1)求型车前个月的销售总量的表达式；
(2)比较两款车前个月的销售总量与的大小关系；
(3)试问从第几个月开始型车的月销售量小于型车月销售量的20%，并说明理由.(参考数据：， )

【推荐2】已知递增的等差数列的首项，且、、成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列对任意，都有成立，求的值．
（3）若，求证：数列中的任意一项总可以表示成其他两项之积．

【推荐3】设复数是关于的方程（且，为实数）的虚数根.
（1）若，求的取值范围以及的值；
（2）若，求所有虚数的实部之和（用仅含有字母的式子表示）；
（3）设虚数对应的位置向量为，记，若，求的取值范围（用仅含有字母的式子表示）.

【推荐1】已知阶方阵中的各元素均为正数，其中每行成等差数列，每列都是公比为2的等比数列，已知.
（1）求和的值；
（2）计算行列式和；
（3）设，证明：当是3的倍数时，能被21整除.

【推荐2】对于数组，各项均为自然数，如下定义该数组的放缩值：三个数最大值与最小值的差．如果放缩值m≥1，可进行如下操作：若a、b、c最大的数字是唯一的，把最大的数减2，剩下的两个数一共加2，且每个数得到的相等；若a、b、c最大的数有两个，则把最大的数各减1，第三个数加上最大数共减少的值．此为第一次操作，记为放缩值记为，可继续对再次进行该操作，操作n次以后的结果记为，放缩值记为．
(1)若，求的值
(2)已知的放缩值记为t，且．若n=1，2，3．．．．．．时，均有，若，求集合
(3)设集合中的元素是以4为公比均为正整数的等比数列中的项，，且，在一个集合中有唯一确定的数．证明：存在满足=0．

【推荐3】设，，.
（1）化简：；
（2）已知.记.证明：能被整除.

【推荐1】已知数列的前项和为，，且，，成等差数列.
（1）求的值；
（2）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（3）设，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围.

【推荐2】已知无穷数列满足，.
（1）若；
（i）求证：；
（ii）数列的前项和为且，求证：；
（2）若对任意的，都有，写出的取值范围并说明理由.

【推荐3】给定整数．设是个非负实数，满足，且对任意，有（这里）．求的最小值．