【推荐1】已知数列和满足，，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)求的前n项和．

【推荐2】已知正项数列的前项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：.

【推荐3】已知正项等比数列的前n项和为，满足，．记.
(1)求数列，的通项公式；
(2)设数列前n项和，求使得不等式成立的n的最小值.

【推荐1】算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具．如图是一把算盘的初始状态，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位、……，上面一粒珠子（简称上珠）代表5，下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小．例如，个位拨动一粒上珠、十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15．现将算盘的个位、十位、百位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的三位数能被5整除”，“表示的三位数能被3整除”．

(1)求事件发生的概率；
(2)求事件或发生的概率．

【推荐2】某心理师研究所对某城区的80位中小学生睡眠情况进行统计，统计情况如表所示．

	小学生	初中生	高中生	合计
睡眠不足	22	10	8	40
睡眠充足	28	10	2	40
合计	50	20	10	80

(1)按学段分层抽样方式从这80位学生中抽取8位学生，再从抽取的8位学生中随机抽取3位，求事件A“有初中生”的概率．
(2)若以上表格计算出的频率近似概率，从该区域内的学生（数量大）中随机抽取3位学生，设睡眠不足的人数为X，求X的分布列以及期望．

【推荐3】寒假期间，某校学生会组织部分同学，用“分制”随机调查光明社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶），若幸福度分数不低于分，则称该人的幸福度为“幸福”.

	幸福度

（1）求从这人中随机选取人，至少有人为“幸福”的概率；
（2）以这人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区（人数很多）任选人，记表示抽到“幸福”的人数，求的分布列及数学期望.

【推荐1】市教育部门为研究高中学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该市某校200名高中学生的课外体育锻炼平均每天锻炼的时间进行了调查，数据如下表：

平均每天锻炼的时间(分钟)
总人数	20	36	44	50	40	10

将学生日均课外体育锻炼时间在内的学生评价为“课外体育达标”.
（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关；

	课外体育不达标	课外体育达标	总计
男
女		20	110
总计

（2）从上述课外体育不达标的学生中，按性别用分层抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取3人了解他们锻炼时间偏少的原因，记所抽取的3人中男生的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望；
（3）将上述调查所得到的频率视为概率来估计全市的情况，现在从该市所有高中学生中抽取4名学生，求其中恰好有2名学生课外体育达标的概率.

【推荐2】2021年五一期间，某家具城举办了一次家具有奖促销活动，消费每超过1万元（含1万元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种．
方案一：从装有10个形状与大小完全相同的小球（其中红球2个，白球1个，黑球7个）的抽奖盒中，一次性摸出3个球，其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，则打6折；若摸出2个红球和1个黑球，则打7.2折；若摸出1个白球2个黑球，则打9.6折：其余情况不打折；
方案二：从装有10个形状与大小完全相同的小球（其中红球2个，黑球8个）的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减2000元．
（1）若一位顾客消费了1万元，且选择抽奖方案一，试求该顾客享受7.2折优惠的概率；
（2）若某顾客消费恰好满1万元，试分析该顾客选择哪种抽奖方案更合算，并说明理由．

【推荐3】2019年中国技能大赛以“新时代，新技能，新梦想”为主题，着眼于技能人才培养和选拔．为促进技能人才队伍建设，服务企业发展，备战和筹办世界技能大赛提供坚实基础并营造良好氛围，某职业机电学校积极组织学生参加活动，报名情况如下表：

专业分类	赛事名称	报名人数
加工制造类	机电设备安装与维护	30
	机械装备技术	20
	焊接技术	30
信息技术类	计算机辅助设计	30
	计算机检测维修与数据恢复	40
	数字影音后期制作技术	30
	网络空间安全	20

现采取分层抽样方法从报名的学生中抽取一个样本，若样本中信息技术类的学生人数是12．
（1）样本中，加工制造类的学生人数是多少？
（2）从样本中加工制造类学生中随机抽取4名学生参加比赛，选择焊接技术的学生补助费用为每人2000元，选择其他赛事的学生补助费用为每人1000元．
①设随机变量表示选出的4名学生中选择焊接技术的人数，求随机变量的分布列；
②设随机变量表示选出的4名学生补助费用的总和，求随机变量的期望．