【推荐1】一个正三角形被等分成4个相等的小正三角形，将中间的一个涂黑（如图（1）），在将剩下的每一个正三角形都分成4个相等的小正三角形，并将中间的一个涂黑，得图（2），如此继续下去……，若设第(nN*)个图共涂黑了个三角形，可以发现第个三角形比第个三角形多了个涂黑的小正三角形．

（1）试将用和表示出来 ；
（2）将用和表示出来，并求数列的通项公式．

【推荐2】已知数列满足：，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）已知数列满足：，定义使为整数叫做“幸福数”，求区间内所有“幸福数”的和.

【推荐3】已知数列为等比数列，，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设是数列的前n项和，证明．

【推荐1】设数列{a_n}满足a₁=3，．
（1）计算a₂，a₃，猜想{a_n}的通项公式并加以证明；
（2）求数列{2ⁿa_n}的前n项和S_n．

【推荐2】数列的通项公式
(1)求：f(1)、f(2)、f(3)、f(4)的值；
(2)由上述结果推测出计算f(n)的公式，并用数学归纳法加以证明.

【推荐3】已知数列满足（这里），求数列的通项公式．

【推荐1】设数列{a_n}的前n项和为S_n.若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S_n=a_m，则称{a_n}是“H数列”.
（1）若数列{a_n}的前n项和S_n=2ⁿ（n∈N），证明：{a_n}是“H数列”；
（2）设{a_n}是等差数列，其首项a₁=1，公差d<0.若{a_n}是“H数列”，求d的值；
（3）证明：对任意的等差数列{a_n}，总存在两个“H数列”{b_n}和{c_n}，使得a_n=b_n+c_n（n∈N）成立.

【推荐2】已知为实数，数列满足：①；②．
(1)当时，求的值；
(2)求证：存在正整数，使得；
(3)设是数列的前项和，求的取值范围，使数列为周期数列且方程有解（若数列满足：存在且，对任意且，成立，则称数列为以为周期的周期数列）．

【推荐3】已知数列，若为等比数列，则称具有性质P.
（1）若数列具有性质P，且，求、的值；
（2）若，求证：数列具有性质P；
（3）设，数列具有性质P，其中，若，求正整数n的取值范围.