【推荐1】已知双曲线C：的渐近线方程为，过双曲线C的右焦点的直线与双曲线C分别交于左、右两支上的A、B两点．
(1)求双曲线C的方程；
(2)过原点O作直线，使得，且与双曲线C分别交于左、右两支上的点M、N．是否存在定值，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】设双曲线的左、右焦点分别为，，且焦距为6，点在双曲线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知M是直线上一点，直线交双曲线C于A（A在第一象限），B两点，O为坐标原点，过点M作直线OA的平行线l，l与直线OB交于点P，与x轴交于点Q，证明：P为线段MQ的中点．

【推荐3】已知双曲线（，）的左焦点为，，是双曲线上关于原点对称的两点，直线与双曲线的另一个交点是，直线与双曲线的另一个交点是．当点的坐标为时，．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）当点在双曲线上运动时，证明：直线经过定点．

【推荐2】已知双曲线 C 经过点 (2,3)，它的渐近线方程为 y = ±．椭圆 C₁与双曲线 C有相同的焦点，椭圆 C₁的短轴长与双曲线 C 的实轴长相等．
（1）求双曲线 C 和椭圆 C₁ 的方程；
（2）经过椭圆 C₁ 左焦点 F 的直线 l 与椭圆 C₁ 交于 A、B 两点，是否存在定点 D ，使得无论 AB 怎样运动，都有∠ADF = ∠BDF ？若存在，求出 D 点坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】已知双曲线的渐近线方程为，过右焦点且斜率为的直线与相交于两点.
(1)求的方程；
(2)①若点关于轴的对称点为，求证直线恒过定点，并求出点的坐标；
②若，求面积的最大值.

【推荐1】已知为双曲线的右焦点，点在上．
(1)若直线，的斜率之和为，求直线的斜率；
(2)若，过的直线与的两条渐近线分别交于，两点，，过且斜率为的直线与过且斜率为的直线交于点，若，求证：，，三点共线．

【推荐2】已知双曲线左右焦点分别为，，点在双曲线上，且点到双曲线两条渐近线的距离乘积为，过分别作两条斜率存在且互相垂直的直线，，已知与双曲线左支交于，两点，与左右两支分别交于，两点.
(1)求双曲线的方程；
(2)若线段，的中点分别为，，求证：直线恒过定点，并求出该定点坐标.

【推荐3】已知双曲线C的右焦点F，半焦距c=2，点F到直线的距离为，过点F作双曲线C的两条互相垂直的弦AB，CD，设AB，CD的中点分别为M，N.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)证明：直线MN必过定点，并求出此定点的坐标.

【推荐1】已知双曲线过点，且该双曲线的虚轴端点与两顶点的张角为．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点的直线与双曲线左支相交于点，直线与轴相交于两点，求的取值范围．

【推荐2】在平面直角坐标系中，已知点，是椭圆：的左、右焦点，且，椭圆上任意一点到，的距离之和为4.

（Ⅰ）求椭圆的方程；       
（Ⅱ）设直线交椭圆于，两点，椭圆上存在点使得四边形为平行四边形，求四边形的面积.

【推荐3】数学家加斯帕尔·蒙日创立的《画法几何学》对世界各国科学技术的发展影响深远.在双曲线中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴长与虚半轴长的平方差的算术平方根，这个圆被称为蒙日圆.已知双曲线的实轴长为，其蒙日圆方程为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设点关于坐标原点的对称点为，不过点且斜率为的直线与双曲线相交于两点，直线与交于点，求直线的斜率值.