【推荐1】已知椭圆的离心率为，的面积为
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：为定值.

【推荐2】如图，已知椭圆的左､右两个焦点分别为､，左､右顶点分别为A､B，离心率为，过的动直线与椭圆C交于M､N两点，且的周长为8.

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若，记､的面积记分别为､，求的取值范围.

【推荐3】已知椭圆的离心率为，且经过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设，，分别为椭圆的左、右顶点，过点的直线与椭圆交于点，（异于，），直线与直线交于点，直线，的斜率分别为，，证明：是定值，并求出该定值．

【推荐1】如图，已知圆，点P是圆E上任意一点，且，线段PF的垂直平分线与半径PE相交于点Q.

（Ⅰ）求动点Q的轨迹Γ方程；
（Ⅱ）已知A，B，C是轨迹Γ的三个动点，A与B关于原点对称，且，当△的面积为 时，求点C的坐标.

【推荐2】已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，为椭圆上一动点（异于左右顶点），若面积的最大值为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线过点交椭圆于两点，问在轴上是否存在一点，使得为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】平面内与两定点A₁（﹣a，0），A₂（a，0）（a＞0）连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A₁、A₂两点所成的曲线C可以是圆、椭圆成双曲线．
（1）求曲线C的方程，并讨论C的形状与m值的关系；
（2）当m=﹣1时，对应的曲线为C₁；对给定的m∈（﹣1，0）∪（0，+∞），对应的曲线为C₂，设F₁、F₂是C₂的两个焦点．试问：在C₁上，是否存在点N，使得△F₁NF₂的面积S=|m|a²．若存在，求tanF₁NF₂的值；若不存在，请说明理由．

【推荐1】已知A、B为椭圆（）和双曲线的公共顶点，P、Q分别为双曲线和椭圆上不同于A、B的动点，且（，），设AP、BP、AQ、BQ的斜率分别为、、、.
（1）若，求的值（用a、b的代数式表示）；
（2）求证：；
（3）设、分别为椭圆和双曲线的右焦点，若，求的值．

【推荐2】已知锐角的一条边的长为4，并且，以直线为轴，线段的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系.
(1)试求顶点的轨迹方程；
(2)设直线：与顶点的轨迹相交与两点，，以为直径的圆恒过轴上一个定点，求点的轨迹方程.

【推荐3】已知椭圆，（，），过椭圆的右焦点作垂直于轴的直线交椭圆于，两点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若，是椭圆上位于两侧的动点，当，运动时，始终保持平分，求证：直线的斜率为定值．