【推荐1】已知正三棱台的上下底面边长分别为2和5，侧棱长为3，则以下底面的一个顶点为球心，半径为2的球面与此正三棱台的表面的交线长为______.

【推荐2】我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异.”意思是：两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等.如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕y轴旋转一周，得到一个旋转体，如用与x轴相距为，且垂直于y轴的平面，截这个旋转体，则截面图形的面积为______；这个旋转体的体积为______．

【推荐3】设圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为1，那么该圆锥体积的最小值为_______．

【推荐1】在三棱锥中，平面是线段上动点，线段的长度最小值为，则三棱锥的外接球的表面积为____________．

【推荐3】某电视台鉴宝栏目迎来一件清代老银方斗型挂件（图1），古代常用来作为女方陪嫁．该挂件佩戴起来非常漂亮，寓意“斗出斗入，日进万金”之意．其结构由长方体与正四棱台组合而成．图2是与该挂件结构相同的几何体，且，，，为上一点，且，为上一点．

（1）若，则的值为______；
（2）几何体外接球的体积为______．

【推荐1】以椭圆的右焦点为圆心，且与双曲线的两条渐近线都相切的圆方程为______.

【推荐2】椭圆+=1与双曲线-=1有公共的焦点F₁，F₂，P是两曲线的一个交点，则cos∠F₁PF₂=______ ．

【推荐3】平面直角坐标系中，已知圆与轴、轴均相切，圆心在椭圆内，且与有唯一的公共点.则的焦距为______.

【推荐1】在实际生活中，常常要用到如图①所示的“直角弯管”.它的制作方法如下：如图②，用一个与圆柱底面所成角为的平面截圆柱，将圆柱截成两段，再将这两段重新拼接就可以得到“直角弯管”.在制作“直角弯管”时截得的截口是一个椭圆，若将圆柱被截开的一段（如图③的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展开成平面图形，则截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象（如图④）.记该正弦型函数的最小正周期为，若椭圆的长轴长为，则__________.

【推荐3】已知圆柱底面半径为2，一个与底面成45°角的平面截这个圆柱，则截面上的椭圆离心率为______．