【推荐1】如图，已知椭圆E：的离心率为，A，B是椭圆的左右顶点，P是椭圆E上异于A，B的一个动点，直线过点B且垂直于x轴，直线AP与交于点Q，圆C以BQ为直径.当点P在椭圆短轴端点时，圆C的面积为.

（1）求椭圆E的标准方程；
（2）设圆C与PB的另一交点为点R，记△AQR的面积为，△BQR的面积为，试判断是否为定值，若是定值，求出这个定值，若不是定值，求的取值范围.

【推荐2】已知椭圆的短轴长等于焦距，长轴长为等于圆的直径，过点P（0，1）的直线l与椭圆C交于两点A，B，与圆R交于两点M，N
(1)求椭圆C的方程；
(2)求的取值范围．

【推荐3】已知椭圆C的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点，.
（1）求椭圆C的方程;
（2）设椭圆C在A、B两点的切线分别为、，P为椭圆C上任意一点，点P到直线、的距离分别为、，证明：存在直线，使得点P到的距离d（其中）满足恒为定值，并求出这一定值．

【推荐1】已知椭圆的左，右焦点分别为，且与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆上，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线分别交椭圆于，且分别是弦的中点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：直线过定点；
(3)求面积的最大值.

【推荐2】如图，已知椭圆C的中心在原点，其一个焦点与抛物线的焦点相同，又椭圆C上有一点M(2，1)，直线l平行于OM且与椭圆C交于A，B两点，连接MA，MB.

(1)求椭圆C的方程；
(2)当MA，MB与x轴所构成的三角形是以x轴上所在线段为底边的等腰三角形时，求直线l在y轴上截距的取值范围．

【推荐3】已知椭圆：（）经过点，离心率为.

(1)求椭圆的方程；
(2)如图所示，过椭圆上的点，（）的直线与，轴的交点分别为和，且，过原点的直线与平行，且与椭圆交于、两点，求面积的最大值.

【推荐1】已知椭圆C：（）的离心率是，椭圆C的右焦点为F，点P在椭圆C上，且的最大值为.
（1）求椭圆C的标准方程，
（2）过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，直线l不经过点，记直线与直线的斜率分别为，，证明：为定值.

【推荐2】在平面直角坐标系中，长为3的线段的两端点，分别在轴、轴上滑动，动点满足.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）、、为曲线上三个动点，满足，判断四边形的面积是否为定值，若为定值，求出其值.

【推荐3】已知椭圆的左、右焦点分别为.点在椭圆上滑动，若的面积取得最大值4时，有且仅有2个不同的点使得为直角三角形．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆分别相交于两点，与轴交于点.设，，求证：为定值，并求该定值．

【推荐1】如图，已知，分别是椭圆的右顶点和上顶点，椭圆的离心率为，的面积为1，若过点的直线与相交于，两点，过点作轴的平行线分别与直线，交于点，．
   
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：，，三点的横坐标，，满足关系式．

【推荐2】若直线与椭圆交于两点，且，求证：直线与某个定圆相切，并求出定圆的方程.

【推荐3】若椭圆与直线交于点.点为的中点，直线(为原点)的斜率为，又，求椭圆方程．