【推荐1】已知圆的圆心为直线与直线的交点，且圆的半径为.

(1)求圆的标准方程；
(2)若为圆上任意一点，，点满足，求点的轨迹方程.

【推荐2】已知在平面直角坐标系中，点，半径为1的圆C的圆心在直线上．
(1)若圆C被直线所截得的弦长为，求圆C的标准方程；
(2)若圆C上存在点M，使得，求圆心C的横坐标的取值范围．

【推荐3】在直角坐标系中，，以为极点，轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系.点是曲线上的动点，的中点为.
（1）求点的轨迹的直角坐标方程；
（2）设曲线经伸缩变换，后得到曲线，射线分别与和交于，两点，求.

【推荐1】已知两定点、，如果动点满足，求点的轨迹方程.

【推荐2】已知点与点，是动点，且直线与的斜率之积等于求动点的轨迹方程;

【推荐3】在平面直角坐标系中，对于直线和点、，记，若，则称点、被直线分隔，若曲线与直线没有公共点，且曲线上存在点、被直线分隔，则称直线为曲线的一条分隔线．
(1)判断点是否被直线分隔并证明；
(2)若直线是曲线的分隔线，求实数的取值范围；
(3)动点到点的距离与到轴的距离之积为，设点的轨迹为曲线，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是的分隔线．