祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是立体的高．意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等．上述原理在中国被称为祖暅原理．
的球体，平面
与球相交，截面为圆
，延长
，交球于点
，则垂直于圆（垂直于圆内的所有直线）．若圆锥
的侧面展开图扇形的圆心角为
．的表面积和体积；
(2)如图平面上方与球体之间的部分叫球冠，请你利用祖暅原理求球冠的体积．
的球体，平面与球相交，截面为圆，延长，交球于点，则垂直于圆（垂直于圆内的所有直线）．若圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为．
的表面积和体积；(2)如图平面
上方与球体之间的部分叫球冠，请你利用祖暅原理求球冠的体积．
更新时间：2024-05-08 11:27:45
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【推荐1】如图，从底面半径为
，高为
的圆柱中，挖去一个底面半径为且与圆柱等高的圆锥. 
与挖去圆锥后的几何体的表面积
的值.
(2)求挖去圆锥后的几何体的体积
.
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.
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【推荐2】一个如图所示的密闭容器，它的下部是一个底面半径为
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，M，N，P分别是
，
，
的中点．
交PN于点E，直线
交平面MNP于点F，求证：M，E，F三点共线．
(2)求三棱锥
的体积．
中，棱长，M，N，P分别是，，的中点．
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【推荐2】将如图①所示的矩形
沿
翻折后构成一个四棱锥
如图②），若在四棱锥
中
，连接
.
(1)求证：
平面
；
(2)求四棱锥的体积.
沿翻折后构成一个四棱锥如图②），若在四棱锥中，连接.(1)求证：
平面；(2)求四棱锥
的体积.
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，
中，
，
，
，点
为线段
的四等分点，线段
互相平行，现沿
所示的几何体，此几何体的底面
为正方形.
四点共面；
的体积.
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【推荐1】在正四棱柱中，
，M是
的中点．
(1)证明：
平面．
(2)若正四棱柱的表面积是10，求该正四棱柱的外接球的体积．
中，，M是的中点． (1)证明：
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解题方法
【推荐2】如图，三棱柱
的侧棱垂直于底面，其高为
，底面三角形的边长分别为
，
，
.；
(2)求该三棱柱的外接球的表面积与内切球的体积.
的侧棱垂直于底面，其高为，底面三角形的边长分别为，，.
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解题方法
【推荐3】在空间直角坐标系
中，以坐标原点
为圆心，
为半径的球体上任意一点
，它到坐标原点的距离
，可知以坐标原点为球心，为半径的球体可用不等式
表示．还有很多空间图形也可以用相应的不等式或者不等式组表示，记
满足的不等式组
表示的几何体为
．
（1）当
表示的图形截所得的截面面积为
时，求实数
的值；
（2）请运用祖暅原理求证：记
满足的不等式组
所表示的几何体
，当时，与的体积相等，并求出体积的大小．（祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：所有等高处横截面积相等的两个同高立体，其体积也必然相等）
中，以坐标原点为圆心，为半径的球体上任意一点，它到坐标原点的距离，可知以坐标原点为球心，为半径的球体可用不等式表示．还有很多空间图形也可以用相应的不等式或者不等式组表示，记满足的不等式组表示的几何体为．（1）当
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