【推荐2】记数列的前项和为，，______.给出下列两个条件：条件①：数列和数列均为等比数列；条件②：.试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）
(1)求数列的通项公式；
(2)记正项数列的前项和为，，，，求.

【推荐3】已知函数．
(1)若，求的单调区间；
(2)若时恒成立，求实数a的取值范围．
(3)定义函数，对于数列，若，则称为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”．
①已知为函数的“源数列”，求证：对任意正整数，均有；
②已知为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”， 与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由．

【推荐1】数列是等差数列且，，数列的前项和为，且.
（1）求数列，的通项公式；
（2）求数列的前n项和为.

【推荐2】设为数列的前n项和，且，.
（1）求证: 数列是等比数列：
（2）若对任意为数列的前n项和，求证：.

【推荐3】若数列{a_n}满足:对任意n∈N^*,均有a_n=b_n+c_n成立,且{b_n},{c_n}都是等比数列,则称(b_n,c_n)是数列{a_n}的一个等比拆分.
（1）若a_n=2ⁿ,且(b_n,b_n+1)是数列{a_n}的一个等比拆分,求{b_n}的通项公式;
（2）设(b_n,c_n)是数列{a_n}的一个等比拆分,且记{b_n},{c_n}的公比分别为q₁,q₂;
①若{a_n}是公比为q的等比数列,求证:q₁=q₂=q;
②若a₁=1,a₂=2,q₁•q₂=﹣1,且对任意n∈N^*,a_n+1³<a_na_n+1a_n+2+a_n+2﹣a_n恒成立,求a₃的取值范围.

【推荐1】已知数列的前项和为，通项满足（是常数，且）.
(1)求数列的通项公式；
(2)当时，证明；
(3)设函数，，是否存在正整数，使对都成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

【推荐2】对于给定的正整数k，若正项数列满足，对任意的正整数n（）总成立，则称数列是“数列”.
（1）证明：若是正项等比数列，则是“数列”；
（2）已知正项数列既是“数列”，又是“数列”，
①证明：是等比数列；
②若，，且存在，使得为数列中的项，求q的值.

【推荐3】在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）
已知正项数列满足，，__________.
(1)求数列的通项公式：
(2)设数列的前项和为，求不等式的解集.

【推荐1】已知数列满足，且．
(1)设，证明：是等比数列；
(2)设数列的前n项和为，求使得不等式成立的n的最小值．

【推荐2】新冠抗疫期间，我们经历了太多悲恸，也收获了不少感动．某数学小组希望通过将所学的知识应用于我们的抗疫，决定以数学实验的方式探索新冠的传染和防控．过程如下：假设小盒中有个黑球，个红球．模型①：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球后，则放回小盒并往小盒里加入倍的红球．此模型可以解释为“传染模型”，即若发现一个新冠感染者，若不作任何处理，则会产生倍的新的感染者；模型②：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中，此模型可以解释为“安全模型”，即若发现一个新冠患者，则移出将其隔离进行诊治．（注：考虑样本容量足够大和治愈率的可能性，故用黑球代替红球）
（1）分别计算在两种模型下，取出一次球后，第二次取到红球的概率；
（2）在模型②的前提下：
（i）记在第次时，刚好抽到第二个红球，试用表示刚好第次抽到第二个红球对应的概率；
（ii）若规定无论第次是否能够抽到红球或第二个红球，当进行到第次时，即停止抽球；记抽到第二个红球时所需要的次数为，求的数学期望．（精确到个位）
参考数据：，，，．

【推荐3】已知正项数列满足，.数列满足各项均不为0，，其前n项的乘积.
(1)求数列通项公式；
(2)设，求数列的通项公式；
(3)记数列的前项的和，求使得不等式成立的正整数m的最小值.