【推荐1】已知椭圆的离心率为，其过点，其长轴的左右两个端点分别为，直线交椭圆于两点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线的斜率分别为，若，求的值.

【推荐2】已知直线：与直线：的距离为，椭圆：的离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）在（1）的条件下，抛物线：的焦点与点关于轴上某点对称，且抛物线与椭圆在第四象限交于点，过点作抛物线的切线，求该切线方程并求该直线与两坐标轴围成的三角形面积.

【推荐3】折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长. 某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸，可折出一个椭圆.

步骤1：设圆心是F，在圆内不是圆心处取一点，标记为E；
步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过点E，此时圆周上与点E重合的点标记为G；
步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕，此时GF与折痕交于点P；
步骤4：不断重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕和越来越多的交点P，所有交点P组成的图形便是一个椭圆．
现已知圆形纸片的半径为4，定点E到圆心F的距离为2，为EF中点，所有交点P组成的椭圆记为.
（1）以EF所在的直线为x 轴，以O为原点建立平面直角坐标系，求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交于A，两点，且，试问点到直线的距离是否为定值?如果是定值，则求该定值；如果不是定值，则说明理由．

【推荐1】如图1所示是一种作图工具，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，D为旋杆上的一点且在M，N两点之间，且．当滑标在滑槽内做往复运动，滑标在滑槽内随之运动时，将笔尖放置于处进行作图，当和时分别得到曲线和．如图2所示，设与交于点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．

(1)求曲线和的方程；
(2)已知直线与曲线相切，且与曲线交于A，B两点，记的面积为，证明：．

【推荐2】已知动点 (其中)到轴的距离比它到点的距离少1.
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若直线与动点P的轨迹交于A、B两点，求的面积.

【推荐3】如图，设椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，，，的面积为.

(1)求该椭圆的标准方程.
(2)过该椭圆的右焦点的直线交椭圆于A、B两点，求当的内切圆面积最大时直线的方程.