【推荐1】已知椭圆与双曲线．
（1）若椭圆与双曲线的离心率分别为，，双曲线的渐近线的斜率小于3，求和的取值范围；
（2）若椭圆的长轴长为8，短轴长为4，双曲线与直线l：有唯一的公共点M，过点M且与l垂直的直线分别交x轴，y轴于点，两点．当点M运动时，求点的轨迹方程．

【推荐2】如图所示，在平面直角坐标系中，设椭圆，其中，过椭圆内一点的两条直线分别与椭圆交于点和，且满足，，其中为正常数. 当点恰为椭圆的右顶点时，对应的.

（1）求椭圆的离心率；
（2）求与的值；
（3）当变化时，是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由.

【推荐3】设椭圆的左、右焦点分别为、，上顶点为，在轴负半轴上有一点，满足为线段的中点，且.
（1）求椭圆的离心率；
（2）若过、、三点的圆与直线相切，求椭圆的方程；
（3）在（2）的条件下，过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于、两点，在轴上是否存在点使得以、为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出的取值范围，若不存在，请说明理由.

【推荐1】已知椭圆C:(a>b>0)经过点(,1),且离心率e.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线l与椭圆C相交于A､B两点,且满足∠AOB=90°(O为坐标原点),求|AB|的取值范围.

【推荐2】已知焦点在轴上的椭圆的中心是原点，离心率等于，以椭圆的长轴和短轴为对角线的四边形的周长为，直线与轴交于点，与椭圆交于两个相异点，且.
(Ⅰ) 求椭圆的方程；
(Ⅱ)若，求的取值范围.

【推荐3】已知椭圆的右焦点为，顺次连接椭圆E的四个顶点恰好构成一个边长为的菱形.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设，为坐标原点，、是椭圆上两点，且的中点在线段（不含端点、）上，求面积的取值范围.