【推荐1】已知为坐标原点，对于函数，称向量为函数的联合向量，同时称函数为向量的联合函数．
(1)设函数，试求函数的联合向量的坐标；
(2)记向量的联合函数为，当且时，求的值；
(3)设向量，的联合函数为，的联合函数为，记函数，求在上的最大值．

【推荐2】某公园计划改造一块四边形区域铺设草坪，其中百米，百米，，草坪内需要规划4条人行道以及两条排水沟､，其中分别为边的中点.

(1)若，求的余弦值；
(2)若，求排水沟的长；
(3)若，试用表示4条人行道的总长度.

【推荐3】（1）已知，为第一象限角，求
（2）已知，求的值

【推荐1】如果数列满足条件：存在正整数，使得对任意正整数（满足）均成立，那么称数列为级等差数列.
(1)若数列为1级等差数列，且，，求.
(2)若数列为2级等差数列，且前四项依次为1，2，3，8，求，及；
(3)若数列为3级等差数列，且（为常数），求实数的值.

【推荐2】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图，假定在水流量稳定的情况下，一个半径为的筒车开启后按逆时针方向做匀速圆周运动，每分钟转1圈、筒车的轴心距离水面的高度为.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数）.若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：s）之间的关系为.
   
(1)求，，，的值；
(2)若盛水筒在不同时刻，距离水面的高度相等，求的最小值；
(3)若筒车上均匀分布了12个盛水筒，在筒车运行一周的过程中，求相邻两个盛水筒距离水面的高度差的最大值.

【推荐3】已知且的值.

【推荐1】（1）在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则内切圆半径的最大值为_________
（2）随着节假日外出旅游人数增多，倡导文明旅游的同时，生活垃圾处理也面临新的挑战，某海滨城市沿海有三个旅游景点，在岸边两地的中点处设有一个垃圾回收站点（如图），两地相距10，从回收站观望地和地所成的视角为，且，设 ；

（i）用分别表示和，并求出的取值范围；
（ii）若地到直线的距离为，求的最大值．

【推荐2】在中，角所对的边分别为，且满足
（1）求角;
（2）若外接圆的半径为，且边上的中线长为，求的面积

【推荐3】燕山公园计划改造一块四边形区域铺设草坪，其中百米，百米，，，草坪内需要规划条人行道、、、以及两条排水沟、，其中、、分别为边、、的中点．

(1)若，求的余弦值；
(2)若，求排水沟的长；
(3)当变化时，求条人行道总长度的最大值．（单位百米）

【推荐1】如图，在平面四边形中，，，.
   
(1)求；
(2)若，，，四点共圆，求四边形面积的最大值.

【推荐2】的内角的对边分别是，且，
(1)求角的大小；
(2)若，为边上一点，，且为的平分线，求的面积．