【推荐1】直线过点，与轴，轴的正半轴分别交于两点，为坐标原点．
(1)当直线的斜率时，求的外接圆的面积；
(2)当的面积最小时，求直线的方程．

【推荐2】过点作直线，使其在两坐标轴的截距分别为，求最小时，直线的点方向式方程．

【推荐3】新冠疫情对市的经济造成重大损失，据有关专家测算，仅新冠开始后一年多的时间，保守估计造成经济损失2000亿人民币，相当于平均每名市民承受了2万元的损失.为了挽回经济损失，某厂家拟在冰雪周举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为万元时，销售量万件满足（其中，），已知生产该产品万件还需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为万元/万件，假定生产量与销售量相等.
(1)将该产品的利润万元表示为促销费用万元（，）的函数；
(2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大.

【推荐1】已知双曲线的离心率为,左、右焦点分别为、,一条准线的方程为.
(1)求双曲线的方程;
(2)若双曲线上的一点满足,求的值;
(3)若直线与双曲线交于不同的两点,且在以为圆心的圆上,求实数的取值范围.

【推荐2】已知椭圆的标准方程为，椭圆过点且离心率.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)直线与相交于，两点，过上的点作轴的平行线交线段于点，直线的斜率为（为坐标原点），若，判断是否为定值？并说明理由.

【推荐3】已知焦点在轴上椭圆，长轴长，离心率.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知，过原点且斜率为的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.

【推荐1】已知点的坐标为，点的坐标为，点满足，记点的轨迹为．
（1）证明为定值，并写曲线的方程；
（2）设直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在定点，使得对任意实数，直线，的斜率乘积为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．

【推荐2】已知点和直线，为曲线上一点，为点到直线的距离且满足.
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）过点作曲线的两条动弦，若直线斜率之积为，试问直线是否一定经过一定点？若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由.

【推荐3】已知椭圆：的两焦点与短轴的一个端点的连线构成面积为1的等腰直角三角形，
（1）求的方程；
（2）直线：与椭圆相较于、两点，试问：在轴上是否存在点，使得为等边三角形，若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由.