【推荐1】已知函数.
(1)如果，求的单调区间和极值；
(2)如果，，，，函数在处取得极值．
(i)求证：；
(ii)求证：．

【推荐2】已知正项数列满足：．
（Ⅰ）求的值，并证明：；
（Ⅱ）设，证明：；
（Ⅲ）设数列的前项和为，证明：当时，．

【推荐3】已知无穷数列{a_n}（a_n∈Z）的前n项和为S_n，记S₁，S₂，…，S_n中奇数的个数为b_n．
（1）若a_n=n，请写出数列{b_n}的前5项；
（2）求证：“a₁为奇数，a_i（i=2，3，4，…）为偶数”是“数列{b_n}是单调递增数列”的充分不必要条件；
（3）若a_i=b_i，i=1，2，3，…，求数列{a_n}的通项公式．

【推荐2】已知数列与满足，.
（1）若，且，求数列的通项公式；
（2）设的第项是最大项，即（），求证：数列的第项是最大项；
（3）设，（），求的取值范围，使得有最大值与最小值，且.

【推荐3】设数列中前两项给定，若对于每个正整数，均存在正整数（）使得，则称数列为“数列”.
（1）若数列为的等比数列，当时，试问：与是否相等，并说明数列是否为“数列”；
（2）讨论首项为、公差为的等差数列是否为“数列”，并说明理由；
（3）已知数列为“数列”，且 ，记，，其中正整数， 对于每个正整数，当正整数分别取1、2、、时的最大值记为、最小值记为. 设，当正整数满足时，比较与的大小，并求出的最大值.

【推荐1】已知等差数列的前n项和为S_n，若为等差数列，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）是否存在正整数， 使成等比数列？若存在，请求出这个等比数列；若不存在，请说明理由；
（3）若数列满足，，且对任意的，都有，求正整数k的最小值．

【推荐2】已知数列满足：，．
（1）求数列的通项公式；
（2）用适当的组合数形式表示，并求数列的前n项和；
（3）若，记数列的前n项和为，求．

【推荐3】已知函数．
(1)求的单调区间；
(2)记在区间上的最小值为，令.
如果对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围；
求证：．