【推荐1】已知函数的最大值为1．
(1)求a的值；
(2)将的图象向上平移1个单位，再把图象上所有点的纵坐标缩短到原来的（横坐标不变），再把图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若求面积的最大值．

【推荐2】已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角A的值；
(2)已知a＝4．
（i）求△ABC面积的最大值；
（ii）求的最大值．

【推荐3】已知，，且的最大值为m．
(1)求实数m的值；
(2)若，关于x的不等式恒成立，求实数t的取值范围．

【推荐1】如图1所示是一种作图工具，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M，N，有一根旋杆将两个滑标连成一体，，D为旋杆上的一点且在M，N两点之间，且．当滑标在滑槽内做往复运动，滑标在滑槽内随之运动时，将笔尖放置于处进行作图，当和时分别得到曲线和．如图2所示，设与交于点，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．

(1)求曲线和的方程；
(2)已知直线与曲线相切，且与曲线交于A，B两点，记的面积为，证明：．

【推荐2】已知两点的坐标分别为,直线相交于点,并且直线的斜率乘积为．
(1)求点的轨迹方程并且指出轨迹曲线的形状．
(2)点是点轨迹上且为第一象限的点,且,,求的值．

【推荐3】已知坐标平面内：，：．动点P与外切与内切．
（1）求动圆心P的轨迹的方程;
（2）若过D点的斜率为2的直线与曲线交于两点A、B，求AB的长;
（3）过D的动直线与曲线交于A、B两点，线段中点为M，求M的轨迹方程．

【推荐1】已知椭圆的离心率为，短轴一个端点到右焦点的距离为．
⑴求椭圆的方程．
⑵设直线：与椭圆交于两点，坐标原点到直线的距离为，且的面积为，求实数的值．

【推荐2】已知椭圆的左、右焦点分别为，.，椭圆离心率.
(1)求椭圆的方程；
(2)直线过椭圆的右焦点，交椭圆于两点，若的面积为，求直线的方程.

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，直线：上的点和椭圆上点的最小距离为1.
   
（1）求椭圆的方程：
（2）已知椭圆的上顶点为，点，是上的不同于的两点，且点，关于原点对称，直线，分别交直线于点，.记直线与的斜率分别为，.
①求证：为定值；
②求的面积的最小值.