【推荐1】在直角坐标系平面内，动直线与动直线相交于点，则点的轨迹方程是____________.

【推荐2】希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值（）的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中，，，点是满足的阿氏圆上的任一点，则该阿氏圆的方程为___________；若点为抛物线：上的动点，在轴上的射影为，则的取小值为___________.

【推荐3】已知直线与圆心坐标为（为整数）且经过点的圆C相切，直线m：与圆C相交于A、B两点，则下列说法正确的是______.
①圆C的标准方程为；
②若，则实数的值为2；
③若，则直线的方程为或；
④弦的中点M的轨迹方程为.

【推荐1】古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》中记载有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼奥斯圆.已知点，圆，在圆上存在点满足，则__________.（写出满足条件的一个的值即可）

【推荐2】在平面直角坐标系中，点，若圆上存在一点满足，则实数的取值范围是__________．

【推荐3】在直角坐标系xOy中，圆M：，点N为圆M上任意一点，若以N为圆心，ON为半径的圆与圆M至多有一个公共点，则a的最小值为______．