【推荐1】设函数，证明：
（1）当时，；
（2）若数列满足，则数列递减，且.

【推荐2】设函数在定义域上的最大值为．
（1）求的解析式；
（2）当时，求实数的取值范围．

【推荐3】在等腰中，，是的边界上任意一点，求的最大值．

【推荐1】已知为大于3的素数，的标准分解式为，证明：.

【推荐2】已知函数．
（1）当时，求函数在上的最小值；
（2）若，不等式恒成立，求的取值范围；
（3）若，不等式恒成立，求的取值范围．

【推荐3】设函数．
(1)当(为自然对数的底数)时，求的极小值；
(2)若对任意正实数、（），不等式恒成立，求的取值范围．

【推荐1】给定正整数和正数．对于满足条件的所有等差数列．试求的最大值．

【推荐2】设函数（a、b为实常数）.已知不等式对任意的实数x均成立，定义数列和为： ，， ，数列的前n项的和记为,其前n项的乘积记为.证明：
（1），且；
（2）对任意的正整数n，为定值.

【推荐3】在数列中，已知，且
（1）若，求数列的通项公式；
（2）若，记数列的前项和为，证明：.

【推荐1】已知无穷实数列，，若存在，使得对任意，恒成立，则称为有界数列；记，若存在，使得对任意，恒成立，则称为有界变差数列.
(1)已知无穷数列的通项公式为，判断是否为有界数列，是否为有界变差数列，并说明理由；
(2)已知首项为，公比为实数的等比数列为有界变差数列，求的取值范围；
(3)已知两个单调递增的无穷数列和都为有界数列，记，，证明：数列为有界变差数列.

【推荐2】设数列 和满足，，且证明：是完全平方数．

【推荐3】数列{a_n}满足.
（1）证明：数列{a_n}是正整数数列；
（2）是否存在m∈Z₊，使得2109|a_m，并说明理由.