【推荐1】已知椭圆上的点到两个焦点的距离之和为，短轴长为，直线与椭圆交于、两点.
（1）求椭圆的方程；   
（2）若直线与圆相切，探究是否为定值，如果是定值，请求出该定值；如果不是定值，请说明理由．

【推荐2】已知椭圆的上顶点为，右焦点为，原点到直线的距离为的面积为1.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与交于两点，过点作轴于点，过点作轴于点与交于点.
①求证：点在定直线上，
②求的面积的最大值.

【推荐3】已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为，设点．
（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值．

【推荐1】如图，已知椭圆的左右顶点分别是，离心率为，设点，连接交椭圆于点，坐标原点是．

（1）证明：；
（2）若三角形的面积不大于四边形的面积，求的最小值．

【推荐2】如图，已知半圆C₁：与x轴交于A、B两点，与y轴交于E点，半椭圆C₂：的上焦点为F，并且是面积为的等边三角形，将由C₁、C₂构成的曲线，记为“Γ”．
   
(1)求实数a、b的值；
(2)直线l：与曲线Γ交于M、N两点，在曲线Γ上再取两点S、T（S、T分别在直线l两侧），使得这四个点形成的四边形MSNT的面积最大，求此最大面积；
(3)设点，P是曲线Γ上任意一点，求的最小值．

【推荐3】已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，且椭圆上一点P，满足．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设椭圆C的左顶点为A，若椭圆C上存在点Q，使得四边形是平行四边形（其中O为坐标原点，点P在第一象限），求直线与的斜率之积：
（3）记圆为椭圆C的“关联圆”．过点P作椭圆C的“关联圆”的两条切线，切点为M、N，直线的横、纵截距分别为m、n，求证：为定值．

【推荐1】已知椭圆经过点，离心率.
（1）求椭圆的方程；
（2）已知，直线与椭圆交与两点，求四边形面积的最大值.

【推荐2】在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为.
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若轨迹C上的动点N到定点M（m，0）（0＜m＜2）的距离的最小值为1，求m的值.
（3）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A₁、B₁，且直线OA、OB的斜率之积等于，问四边形ABA₁B₁的面积S是否为定值？请说明理由.

【推荐3】已知，如图，曲线由曲线：和曲线：组成，其中点为曲线所在圆锥曲线的焦点，点为曲线所在圆锥曲线的焦点.

（Ⅰ）若，求曲线的方程；
（Ⅱ）如图，作直线平行于曲线的渐近线，交曲线于点，求证：弦的中点必在曲线的另一条渐近线上；
（Ⅲ）对于（Ⅰ）中的曲线，若直线过点交曲线于点，求面积的最大值.