【推荐1】已知：公差不为零的等差数列，其前项和为，，等比数列的前三项分别是，，.
（1）求数列的前项和；
（2）设，是否存在正整数和实数，使得，，，按适当顺序排列后可以构成等差数列，若存在，求出所有满足条件的的值，若不存在，请说明理由.

【推荐2】给定数列，记该数列前项中的最大项为，即，该数列后项中的最小项为，记，；
（1）对于数列：3，4，7，1，求出相应的，，；
（2）若是数列的前项和，且对任意，有，其中为实数，且，.
（ⅰ）设，证明：数列是等比数列；
（ⅱ）若数列对应的满足对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围.

【推荐3】已知正项数列，，，.证明：
（1）；
（2）；
（3）.

【推荐1】设数列的前n项和为，且方程有一根为.
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)猜想数列的通项公式，并给出严格的证明.

【推荐2】已知各项均为正数的数列的前n项和为，且，，
（1）求数列的通项公式；
（2）若对，都有，求实数a的取值范围；
（3）当时，将数列中的部分项按原来的顺序构成数列且证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列.

【推荐3】若无穷数列的各项均为整数．且对于，都存在，使得，则称数列满足性质P．
(1)判断下列数列是否满足性质P，并说明理由．
①，，，，…；
②，，，，…．
(2)若数列满足性质P，且，求证：集合为无限集；
(3)若周期数列满足性质P，请写出数列的通项公式（不需要证明）．

【推荐1】数列的前n项组成集合，从集合中任取个数，其所有可能的k个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列，当时，时，；
(1)若集合，求当时，的值；
(2)若集合，证明：时集合的与时集合的（为了以示区别，用表示）有关系式，其中；
(3)对于（2）中集合．定义，求（用n表示）．

【推荐2】如图，已知曲线及曲线，上的点的横坐标为．从上的点作直线平行于轴，交曲线于点，再从上的点作直线平行于轴，交曲线于点，点的横坐标构成数列．

（1）求曲线和曲线的交点坐标；
（2）试求与之间的关系；
（3）证明：．

【推荐3】（某工厂生产零件A，工人甲生产一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分别为，工人乙生产一件零件A，是一等品、二等品、三等品的概率分别为．已知生产一件一等品、二等品、三等品零件A给工厂带来的效益分别为10元、5元、2元.
（1）试根据生产一件零件A给工厂带来的效益的期望值判断甲乙技术的好坏；
（2）为鼓励工人提高技术，工厂进行技术大赛，最后甲乙两人进入了决赛．决赛规则是：每一轮比赛，甲乙各生产一件零件A，如果一方生产的零件A品级优干另一方生产的零件，则该方得分1分，另一方得分-1分，如果两人生产的零件A品级一样，则两方都不得分，当一方总分为4分时，比赛结束，该方获胜．P_i+4（i=4，3，2，…，4）表示甲总分为i时，最终甲获胜的概率．
①写出P₀，P₈的值；
②求决赛甲获胜的概率．