【推荐1】如图，半圆的直径，为圆心，，为半圆上的点.

（Ⅰ）请你为点确定位置,使的周长最大，并说明理由；
（Ⅱ）已知，设，当为何值时，
（ⅰ）四边形的周长最大，最大值是多少?
（ⅱ）四边形的面积最大，最大值是多少?

【推荐2】如图，射线和均为笔直的公路，扇形区域（含边界）是规划的生态文旅园区，其中、分别在射线和上.经测量得，扇形的圆心角（即）为、半径为千米.根据发展规划，要在扇形区域外修建一条公路，分别与射线、交于、两点，并要求与扇形弧相切于点（不与重合）.设（单位：弧度），假设所有公路的宽度均忽略不计.

（1）试将公路的长度表示为的函数；
（2）已知公路每千米的造价为万元，问建造这样一条公路，至少要投入多少万元？

【推荐3】如图，已知直线，A是之间的一定点，并且点A到，的距离分别为和2.B，C分别是直线上的动点，且，设，.

(1)写出关于x的函数解析式；
(2)求函数的最小值及相对应的x的值.

【推荐1】已知由的顶点A 引出的两条射线AX 、AY 分别与 BC 交于点 X、Y.证明： 成立的充要 条件是.

【推荐2】已知锐角.以、、为三边作一，以、、为圆心，分别以、、为半径作圆，则此三圆必交于一点，且恰是的垂心.试证之.