对于数列
，称
（其中
）为数列的前k项“波动均值”.若对任意的，都有
，则称数列为“趋稳数列”．
（1）若数列1，
，2为“趋稳数列”，求的取值范围；
（2）若各项均为正数的等比数列
的公比
，求证：是“趋稳数列”；
（3）已知数列的首项为1，各项均为整数，前
项的和为
. 且对任意，都有
， 试计算：
（
）．
，称（其中）为数列的前k项“波动均值”.若对任意的，都有，则称数列为“趋稳数列”．（1）若数列1，
，2为“趋稳数列”，求的取值范围；（2）若各项均为正数的等比数列
的公比，求证：是“趋稳数列”；（3）已知数列
的首项为1，各项均为整数，前项的和为. 且对任意，都有， 试计算： （）．
更新时间：2020-02-02 14:18:10
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较难
(0.4)
【推荐1】从数列
中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列的一个子数列，已知无穷等比数列的公比为
.
（1）若
.
①求数列的通项公式；
②若
分别为等差数列
的第
项和第
项，试求数列的前
项和
.
（2）证明：当
时，数列不存在无穷等差子数列.
中取出部分项，并将它们按原来的顺序组成一个数列，称之为数列的一个子数列，已知无穷等比数列的公比为.（1）若
.①求数列
的通项公式；②若
分别为等差数列的第项和第项，试求数列的前项和.（2）证明：当
时，数列不存在无穷等差子数列.
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【推荐2】若数列满足“对任意正整数
，
，
，都存在正整数，使得
”，则称具有“性质
”．
（1）判断各项均等于
的常数列是否具有“性质”，并说明理由；
（2）若公比为2的无穷等比数列具有“性质”，求首项
的值；
（3）证明首项为2的无穷等差数列具有“性质”的充要条件是公差
或
．
满足“对任意正整数，，，都存在正整数，使得”，则称具有“性质”．（1）判断各项均等于
的常数列是否具有“性质”，并说明理由；（2）若公比为2的无穷等比数列
具有“性质”，求首项的值；（3）证明首项为2的无穷等差数列
具有“性质”的充要条件是公差或．
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，且
.
对任意
都成立．试求
的取值范围．
【推荐1】已知数列满足
，
，数列的前项和为
.
(1)求数列，的通项公式；
(2)
表示不超过的最大整数，如
，设
的前项和为，令
，求证：
.
满足，，数列的前项和为.(1)求数列
，的通项公式；(2)
表示不超过的最大整数，如，设的前项和为，令，求证：.
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【推荐2】材料一：有理数都能表示成
，（
，且
，s与t互质）的形式，进而有理数集可以表示为{
且，s与t互质}.
材料二：我们知道．当
时，可以用一次多项式近似表达指数函数，即
；为提高精确度.可以用更高次的多项式逼近指数函数．
设
对等式两边求导，
得
对比各项系数，可得：
，
，
，…，
；
所以
，取
，有
，
代回原式：
．
材料三：对于公比为
的等比数列
，当
时，数列的前n项和
.
阅读上述材料，完成以下两个问题：
(1)证明：无限循环小数3.7为有理数；
(2)用反证法证明：e为无理数（e＝2.7182^为自然对数底数）．
，（，且，s与t互质）的形式，进而有理数集可以表示为{且，s与t互质}.材料二：我们知道．当
时，可以用一次多项式近似表达指数函数，即；为提高精确度.可以用更高次的多项式逼近指数函数． 设
对等式两边求导，得
对比各项系数，可得：
，，，…，；所以
，取，有，代回原式：
．材料三：对于公比为
的等比数列，当时，数列的前n项和.阅读上述材料，完成以下两个问题：
(1)证明：无限循环小数3.7为有理数；
(2)用反证法证明：e为无理数（e＝2.7182^为自然对数底数）．
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，公比
，数列
．
；
、
、
、
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为等比数列．
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，设多项式
，满足
，
.
（1）求，
的值；
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展开式中的
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，
，
，
，
，
，设
.
（1）若
，求的值；
（2）求数列
（
）的所有项的和
；
（3）求证：对任意
，恒有
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